\int \frac{x^{2}}{\left(4-x^{2}\right)^{3 / 2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{2}}{\bigl(4 - x^{2}\bigr)^{3/2}}\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição trigonométrica, pois aparece \sqrt{4 - x^2}.

Passo 2

Para lidar com \sqrt{4 - x^2}, fazemos a substituição
x = 2\sin\theta, \quad dx = 2\cos\theta\,d\theta.
Nesse caso
4 - x^2 = 4 - 4\sin^2\theta = 4\cos^2\theta \quad\Longrightarrow\quad (4 - x^2)^{3/2} = \bigl(4\cos^2\theta\bigr)^{3/2} = 8\cos^3\theta.

Passo 3

Substituindo no integrando temos
x^2 = 4\sin^2\theta, \quad dx = 2\cos\theta\,d\theta,
\frac{x^2}{(4 - x^2)^{3/2}}\,dx = \frac{4\sin^2\theta}{8\cos^3\theta}\,\bigl(2\cos\theta\,d\theta\bigr) = \frac{8\,\sin^2\theta\,\cos\theta}{8\,\cos^3\theta}\,d\theta = \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}\,d\theta = \tan^2\theta\,d\theta.

Passo 4

Sabemos que \tan^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta - 1, então
\int \tan^2\theta\,d\theta = \int \bigl(\operatorname{sec}^2\theta - 1\bigr)\,d\theta = \tan\theta - \theta + C.

Passo 5

Falta voltar para x. Como
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{x/2}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}} = \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}},
e \theta = \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr), concluímos
\tan\theta - \theta = \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} - \arcsin\!\biggl(\frac{x}{2}\biggr) + C.

Resposta

\int \frac{x^{2}}{\bigl(4 - x^{2}\bigr)^{3/2}}\,dx = \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}} - \arcsin\!\biggl(\frac{x}{2}\biggr) + C.

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