Construa um esboço do gráfico das funções exponenciais a seguir. Em seguida, determine seu conjunto domínio e imagem.
f(x)=2^{2 x-1}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x) = 2^{2x-1}
e, em seguida, determinar seu conjunto domínio e sua imagem.
Conteúdo: funções exponenciais. Vamos usar propriedades de potências de base positiva, identificar pontos-chave e comportamento assintótico.

Passo 2

Reescrevemos a função para identificar melhor seu crescimento:
f(x) = 2^{2x-1} = 2^{-1}\cdot 2^{2x} = \tfrac12\,(2^2)^{\,x} = \tfrac12\cdot4^x.
Isso mostra que é uma exponencial de base 4>1, multiplicada por \tfrac12. Logo ela cresce para +\infty quando x\to+\infty e tende a zero quando x\to-\infty.

Passo 3

Para esboçar o gráfico, escolhemos pontos e assíntota:
  1. Assíntota horizontal:
    \displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=0, então y=0 é assíntota.
  2. Pontos notáveis:
  • Para x=0:
f(0)=2^{2\cdot0-1}=2^{-1}=\tfrac12.
Ponto (0,\tfrac12).
  • Para x=\tfrac12:
2x-1=0\implies f(\tfrac12)=2^0=1.
Ponto (\tfrac12,1).
  • Para x=1:
f(1)=2^{2\cdot1-1}=2^1=2.
Ponto (1,2).
O esboço é uma curva que passa por esses pontos, fica acima do eixo x e cresce exponencialmente à direita.

Passo 4

Domínio e imagem:
  • O domínio de toda função exponencial de base positiva é \mathbb{R}.
  • O valor de 2^{2x-1} é sempre positivo, portanto a imagem é (0,\infty).

Resposta

Domínio: \,(-\infty,\infty).
Imagem: \,(0,\infty).

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