Construa um esboço do gráfico das funções logarítmicas a seguir. Em seguida, determine seu conjunto domínio e imagem.
f(x)=\ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o esboço do gráfico da função
f(x)=\ln(x)
e determinar seu conjunto domínio e imagem. O conteúdo envolvido é a definição e as propriedades básicas do logaritmo natural: existência, comportamento assintótico, monotonicidade e valores em pontos-chave.

Passo 2

Para encontrar o domínio, lembramos que o logaritmo natural está definido somente para argumentos positivos. Logo
\text{Domínio}(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}=(0,\infty).í

Passo 3

Para determinar a imagem de f, analisamos o comportamento em extremos: quando x\to0^+, \ln(x)\to-\infty; quando x\to+\infty, \ln(x)\to+\infty. Como \ln(x) é contínua e estritamente crescente em (0,\infty), a imagem é todo o eixo real:
\text{Imagem}(f)=(-\infty,\infty)=\mathbb{R}.

Passo 4

Esboço do gráfico de \ln(x):
  1. Há uma assíntota vertical em x=0, pois o valor da função vai a -\infty conforme x\to0^+.
  2. A curva passa por (1,0), pois \ln(1)=0.
  3. Para x=e\approx2,718, \ln(e)=1, dando o ponto \bigl(e,1\bigr).
  4. A função é estritamente crescente e tem concavidade voltada para baixo em todo o domínio.
  5. Conforme x aumenta, o crescimento de \ln(x) torna-se mais lento, aproximando-se de +\infty.
Visualmente, desenhe um eixo x positivo, trace a reta x=0 como assíntota e desenhe uma curva que sai de -\infty em x=0^+, cruza (1,0), sobe passando por \bigl(e,1\bigr) e tende a +\infty muito lentamente.

Resposta

Domínio: (0,\infty)
Imagem: (-\infty,\infty)

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