Construa um esboço do gráfico das funções logarítmicas a seguir. Em seguida, determine seu conjunto domínio e imagem.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o esboço do gráfico da função
e determinar seu conjunto domínio e imagem. O conteúdo envolvido é a definição e as propriedades básicas do logaritmo natural: existência, comportamento assintótico, monotonicidade e valores em pontos-chave.
Passo 2
Para encontrar o domínio, lembramos que o logaritmo natural está definido somente para argumentos positivos. Logo
Passo 3
Para determinar a imagem de
, analisamos o comportamento em extremos: quando
,
; quando
,
. Como
é contínua e estritamente crescente em
, a imagem é todo o eixo real:
Passo 4
Esboço do gráfico de
:
- Há uma assíntota vertical em
, pois o valor da função vai a conforme . - A curva passa por
, pois . - Para
, , dando o ponto . - A função é estritamente crescente e tem concavidade voltada para baixo em todo o domínio.
- Conforme
aumenta, o crescimento de torna-se mais lento, aproximando-se de .
Visualmente, desenhe um eixo
positivo, trace a reta
como assíntota e desenhe uma curva que sai de
em
, cruza
, sobe passando por
e tende a
muito lentamente.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: