Determine uma relação entre x e y, independente de t, sabendo que x=3 \operatorname{sen}(t) e y=4 \cos (t). (Resposta: 16 x^{2}+9 y^{2}=144 ). Dica: Utilize as relações trigonométricas vistas em aula.

Passo 1

O enunciado dá as parametrizações
x = 3\operatorname{sen}(t),
y = 4\cos(t),
e pede para eliminar o parâmetro t e obter uma relação só em x e y. Vamos usar identidades trigonométricas básicas vistas em aula.

Passo 2

Isolamos \operatorname{sen}(t) e \cos(t) em função de x e y:
\operatorname{sen}(t) = \frac{x}{3},
\cos(t) = \frac{y}{4}.

Passo 3

Usamos a identidade fundamental da trigonometria:
\operatorname{sen}^2(t) + \cos^2(t) = 1.

Passo 4

Substituímos as expressões de \operatorname{sen}(t) e \cos(t) na identidade:
\Bigl(\frac{x}{3}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{y}{4}\Bigr)^2 = 1.

Passo 5

Simplificamos a soma e multiplicamos por 144 para eliminar denominadores:
\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1 \quad\Longrightarrow\quad 16x^2 + 9y^2 = 144.

Resposta

16x^{2} + 9y^{2} = 144

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