Construa um esboço do gráfico das seguintes funções:
f(x)=-x^2+4 x-1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função quadrática f(x) = -x^2 + 4x - 1. O conteúdo envolvido é estudo de funções polinomiais de segundo grau, onde vamos usar forma canônica (completar o quadrado), encontrar vértice, interceptos e analisar concavidade.

Passo 2

Calcular a forma canônica de f. Temos
f(x) = -x^2 + 4x - 1 = -(x^2 - 4x) - 1 = -(x^2 - 4x + 4) - 1 + 4 = -(x - 2)^2 + 3
Dessa forma, o vértice é V(2,3) e, como o coeficiente de x^2 é -1, a parábola é côncava para baixo.

Passo 3

Encontrar interceptos com os eixos. No eixo y, em x=0 temos
f(0) = -1,
logo o ponto (0, -1). No eixo x, resolvendo f(x) = 0:
-x^2 + 4x - 1 = 0 Longrightarrow x = 4 pm raiz4^2 - 4cdot(-1)cdot(-1)2 = 4 pm raiz122 = 2 pm raiz3
Logo os pontos l(2 - raiz3, 0r) e l(2 + raiz3, 0r).

Passo 4

Analisar o comportamento global. O domínio é R. Por ser parábola côncava para baixo, f cresce até x=2 e decresce depois, atingindo valor máximo f(2)=3.

Passo 5

Esboço do gráfico: desenhe eixos x e y, marque
– o vértice V(2,3),
– o intercepto em y em (0,-1),
– os interceptos em x em l(2-raiz3,0r) e l(2+raiz3,0r),
e trace uma curva em forma de U invertido (côncava para baixo) passando por esses pontos.

Resposta

O esboço é uma parábola côncava para baixo com vértice em (2,3), intercepto em y em (0,-1) e interceptos em x em l(2-raiz3,0r) e l(2+raiz3,0r).

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