Qual número b leva a uma troca de linhas durante a eliminação? Qual b leva à falta de um pivô? Neste caso singular, encontre uma solução não nula x, y, z.
x+b y & =0 x-2 y-z & =0 y+z & =0

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema homogêneo
x + b,y = 0, x - 2,y - z = 0, y + z = 0,
e pede para identificar ( 1) o valor de b que obriga uma troca de linhas durante a eliminação de Gauss, ( 2) o valor de b que faz faltar pivô em alguma etapa (tornando a matriz singular) e, nesse caso singular, ( 3) uma solução não nula (x,y,z). Vamos usar eliminação de Gauss passo a passo.

Passo 2

Primeira etapa: o pivô em (1,1) é 1, que nunca é zero, então eliminamos o x da segunda linha subtraindo a linha 1 da linha 2. Isso dá
L2 L2 - L1 Longrightarrow 0 & -2 - b & -1
A terceira linha fica l(0,1,1r). O pivô da segunda etapa é, portanto,
a22' = -2 - b
Se a22'=0, i.e.\
-2 - b = 0 Longrightarrow b = -2,
então não há pivô na linha 2 mas há o elemento 1 na linha 3 na mesma coluna, então precisamos trocar as linhas 2 e 3. Logo:
boxedb=-2 é o valor que leva a uma troca de linhas.

Passo 3

Supondo agora b neq -2, usamos o pivô a22'=-2-b para zerar o elemento da linha 3 na coluna 2:
L3 L3 - 1-2-b,L2 ;Longrightarrow; l(0,0,,1 - (-1)-2-br) ;=; l(0,0,;1 + 1-2-br) ;=; l(0,0,;b+1b+2r)
O pivô da terceira etapa é
a33'' = b+1b+2
Ele fica zero quando b+1=0, i.e.\
b=-1
Nesse caso não há como trocar de linha (já estamos na última), então falta pivô e a matriz é singular. Logo:
boxedb=-1 leva à falta de pivô.

Passo 4

No caso singular
Da primeira equação . Substituindo na segunda:
logo sobra um grau de liberdade. Seja . Então
e uma solução não nula é, por exemplo,

Resposta

b que leva a troca de linhas: -2
b que leva à falta de pivô: -1
para b=-1, solução não nula: (x,y,z)=(1,1,-1)

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