Construa um sistema 3 por 3 que precise de duas trocas de linhas para alcançar uma forma triangular e uma solução.

Passo 1

O enunciado pede para montarmos um sistema 3times3 que, ao fazermos eliminação de Gauss, exija exatamente duas trocas de linha para chegar numa forma triangular e, em seguida, calcular a solução. O conteúdo envolvido é eliminação de Gauss com pivotamento por trocas de linha sempre que o pivô for zero.

Passo 2

Vamos considerar o seguinte sistema:
0x + 2y + 3z = 5, 2x + 0y + 1z = 4, 1x + 0y + 4z = 6

Passo 3

Escrevendo a matriz aumentada, temos
[ccc|c 0 & 2 & 3 & 5 2 & 0 & 1 & 4 1 & 0 & 4 & 6 ]
O pivô em posição (1,1) é 0, então precisamos trocar a linha 1 com alguma que tenha coeficiente não nulo na coluna 1.

Passo 4

Trocamos a linha 1 com a linha 3:
R1 rightarrow R3 Longrightarrow [ccc|c 1 & 0 & 4 & 6 2 & 0 & 1 & 4 0 & 2 & 3 & 5 ]
Agora o pivô em (1,1) é 1. Eliminamos abaixo:
R2 R2 - 2,R1 Longrightarrow [ccc|c 1 & 0 & 4 & 6 0 & 0 & -7 & -8 0 & 2 & 3 & 5 ]

Passo 5

O próximo pivô em (2,2) vale 0, então trocamos a linha 2 com a linha 3:
R2 rightarrow R3 Longrightarrow [ccc|c 1 & 0 & 4 & 6 0 & 2 & 3 & 5 0 & 0 & -7 & -8 ]
Agora temos matriz triangular superior.

Passo 6

Fazemos substituição reversa para achar (x,y,z):
Da linha 3:
-7,z = -8 Longrightarrow z = 87
Da linha 2:
2,y + 3,z = 5 Longrightarrow 2,y = 5 - 3cdot87 = 35 - 247 = 117 Longrightarrow y = 1114
Da linha 1:
x + 4,z = 6 Longrightarrow x = 6 - 4cdot87 = 42 - 327 = 107

Resposta

O sistema construído foi
0x + 2y + 3z = 5, 2x + 0y + 1z = 4, 1x + 0y + 4z = 6,
e a solução é
(x,y,z) = l(tfrac107,,tfrac1114,,tfrac87r)

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