Construa um exemplo de três eventos A, B, C que não são independentes mas que satisfazem P(A cap B cap C)=P(A) P(B) P(C).

Passo 1

O problema pede um exemplo de três eventos A, B e C tais que tenham P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P©, mas que não sejam independentes (isto é, violem ao menos uma das condições de independência entre pares). Vamos usar conceitos de probabilidade em espaços equiprováveis e a definição de independência: dois eventos X e Y são independentes se P(X∩Y)=P(X)P(Y).

Passo 2

Escolhemos um espaço amostral finito equiprovável de 12 pontos: Ω={1,2,…,12}. Definimos os eventos assim: A={1,2,3,4,10,11}, B={1,2,3,4,5,6,10,11} e C={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Cada ponto vale probabilidade 1/12.

Passo 3

Calculamos as probabilidades marginais:
P(A)=612=tfrac12, P(B)=812=tfrac23, P(C)=912=tfrac34

Passo 4

O triplo encontro é A∩B∩C={1,2,3}, logo
P(Acap Bcap C)=312=tfrac14

Passo 5

O produto das marginais é
P(A)P(B)P(C)=tfrac12timestfrac23timestfrac34=tfrac14

Passo 6

Portanto satisfazemos P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P©.

Passo 7

Para ver que não são independentes, basta checar um par:
Acap B=1,2,3,4,10,11, P(Acap B)=612=tfrac12,

Passo 8

enquanto P(A)P(B)=\tfrac12\times\tfrac23=\tfrac13. Como P(A∩B)≠P(A)P(B), A e B são dependentes.

Passo 9

Assim construímos um exemplo em que o produto triplo vale, mas não há independência completa.

Resposta

Um exemplo é no espaço Ω={1,…,12} equiprovável, com A={1,2,3,4,10,11}, B={1,2,3,4,5,6,10,11} e C={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Esses A, B, C satisfazem P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P©=1/4, mas A e B são dependentes (P(A∩B)=1/2≠P(A)P(B)=1/3).

Exercícios relacionados