Construa um exemplo de três eventos
que não são independentes mas que satisfazem
.
Passo 1
O problema pede um exemplo de três eventos A, B e C tais que tenham P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P©, mas que não sejam independentes (isto é, violem ao menos uma das condições de independência entre pares). Vamos usar conceitos de probabilidade em espaços equiprováveis e a definição de independência: dois eventos X e Y são independentes se P(X∩Y)=P(X)P(Y).
Passo 2
Escolhemos um espaço amostral finito equiprovável de 12 pontos: Ω={1,2,…,12}. Definimos os eventos assim: A={1,2,3,4,10,11}, B={1,2,3,4,5,6,10,11} e C={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Cada ponto vale probabilidade 1/12.
Passo 3
Calculamos as probabilidades marginais:
Passo 4
O triplo encontro é A∩B∩C={1,2,3}, logo
Passo 5
O produto das marginais é
Passo 6
Portanto satisfazemos P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P©.
Passo 7
Para ver que não são independentes, basta checar um par:
Passo 8
enquanto P(A)P(B)=\tfrac12\times\tfrac23=\tfrac13. Como P(A∩B)≠P(A)P(B), A e B são dependentes.
Passo 9
Assim construímos um exemplo em que o produto triplo vale, mas não há independência completa.
Resposta
Um exemplo é no espaço Ω={1,…,12} equiprovável, com A={1,2,3,4,10,11}, B={1,2,3,4,5,6,10,11} e C={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Esses A, B, C satisfazem P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P©=1/4, mas A e B são dependentes (P(A∩B)=1/2≠P(A)P(B)=1/3).