Deixe
ser os inteiros
com probabilidade de
cada. Mostre que os eventos
são dois a dois independentes, mas a família não é independente.
Passo 1
Temos o espaço amostral
com probabilidade uniforme (cada elemento tem probabilidade
). Os eventos são
A = {1,2,3},
B = {1,4,5},
C = {2,4,6}.
O conteúdo que usamos aqui é independência de eventos: pairwise (dois a dois) e independência em família. Vamos precisar calcular probabilidades de eventos e interseções.
A = {1,2,3},
B = {1,4,5},
C = {2,4,6}.
O conteúdo que usamos aqui é independência de eventos: pairwise (dois a dois) e independência em família. Vamos precisar calcular probabilidades de eventos e interseções.
Passo 2
Para cada evento, basta contar quantos elementos ele tem e dividir por 9. Temos
Passo 3
Agora verificamos a independência dois a dois. Para isso, calculamos cada interseção e comparamos com o produto das marginais:
-
, então
e
-
, então
-
, então
Como em cada caso
, os eventos são independentes dois a dois.
Passo 4
Para a independência da família
, precisamos ver se
Como
porém
Logo, a família não é independente.
Passo 5
Concluímos que os eventos são independentes aos pares, mas não independentes em conjunto porque falha a condição para três eventos.
Resposta
Os eventos são dois a dois independentes (pois
para cada par), mas não formam família independente, pois
.