Deixe Omega ser os inteiros 1,2, ldots, 9 com probabilidade de 1 / 9 cada. Mostre que os eventos 1,2,3,1,4,5,2,4,6 são dois a dois independentes, mas a família não é independente.

Passo 1

Temos o espaço amostral Omega = 1,2,ldots,9 com probabilidade uniforme (cada elemento tem probabilidade 1/9). Os eventos são
A = {1,2,3},
B = {1,4,5},
C = {2,4,6}.
O conteúdo que usamos aqui é independência de eventos: pairwise (dois a dois) e independência em família. Vamos precisar calcular probabilidades de eventos e interseções.

Passo 2

Para cada evento, basta contar quantos elementos ele tem e dividir por 9. Temos
P(A)=|A|9=39=13,
P(B)=|B|9=39=13,
P(C)=|C|9=39=13

Passo 3

Agora verificamos a independência dois a dois. Para isso, calculamos cada interseção e comparamos com o produto das marginais:
  • Acap B = 1, então
P(Acap B)=19,
e
P(A)P(B)=13cdot13=19
  • Acap C = 2, então
P(Acap C)=19 = P(A)P(C)
  • Bcap C = 4, então
P(Bcap C)=19 = P(B)P(C)
Como em cada caso P(Xcap Y)=P(X),P(Y), os eventos são independentes dois a dois.

Passo 4

Para a independência da família A,B,C, precisamos ver se
P(Acap Bcap C)=P(A)P(B)P(C)
Como
Acap Bcap C=emptysetRightarrow P(Acap Bcap C)=0,
porém
P(A)P(B)P(C)=13cdot13cdot13=127neq 0
Logo, a família não é independente.

Passo 5

Concluímos que os eventos são independentes aos pares, mas não independentes em conjunto porque falha a condição para três eventos.

Resposta

Os eventos são dois a dois independentes (pois P(Xcap Y)=P(X)P(Y) para cada par), mas não formam família independente, pois P(Acap Bcap C)=0neq P(A)P(B)P(C)=1/27.

Exercícios relacionados