Dado (Omega, F, P) um espaço de probabilidade e dado B com P(B)>0,mostre que ( B, F cap B, P(De ) é um espaço de probabilidade.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um espaço de probabilidade (Ω,𝓕,𝐏) e um evento B com 𝐏(B)>0. Queremos mostrar que o triplo (B,𝓕∩B,𝐏(·|B)) é também um espaço de probabilidade. Vamos usar conceitos de σ-álgebra e medida de probabilidade condicional.

Passo 2

Para ser espaço de probabilidade, 𝓕∩B deve ser uma σ-álgebra sobre B. Definimos
Fcap B=Acap B:,AinF
Verificamos: (i) B=(Ω∈𝓕)⇒B∈𝓕∩B; (ii) se C=A∩B∈𝓕∩B então o complemento em B é B\C=B∩A^c e A^c∈𝓕, logo B∩A^c∈𝓕∩B; (iii) união contável: ∪_{n}(A_n∩B)=(∪_{n}A_n)∩B e ∪_{n}A_n∈𝓕, portanto 𝓕∩B é σ-álgebra.

Passo 3

Definição da medida: para A∩B∈𝓕∩B setamos
P(Acap Bmid B)=P(Acap B)P(B)
Como 𝐏(A∩B)≥0, fica 𝐏(·|B) não-negativa. Além disso
P(emptysetmid B)=P(emptyset)P(B)=0

Passo 4

Normalização: precisamos 𝐏(B|B)=1. De fato,
P(Bmid B)=P(Bcap B)P(B)=P(B)P(B)=1

Passo 5

Aditividade contável: sejam (A_n∩B) disjuntos em B, com A_n∈𝓕 e A_i∩A_j=∅ para i≠j. Então
Pgl(cupn(Ancap B)m|Bgr)=Pl((cupnAn)cap Br)P(B)=sumnP(Ancap B)P(B)=sumnP(Anmid B)
Isso mostra a aditividade contável.

Passo 6

Concluímos que 𝐏(·|B) é uma medida de probabilidade em (B,𝓕∩B), pois satisfaz não-negatividade, normalização e aditividade contável.

Resposta

(B,𝓕∩B,𝐏(·|B)) é um espaço de probabilidade.

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