Dado
um espaço de probabilidade e dado B com
,mostre que (
) é um espaço de probabilidade.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um espaço de probabilidade (Ω,𝓕,𝐏) e um evento B com 𝐏(B)>0. Queremos mostrar que o triplo (B,𝓕∩B,𝐏(·|B)) é também um espaço de probabilidade. Vamos usar conceitos de σ-álgebra e medida de probabilidade condicional.
Passo 2
Para ser espaço de probabilidade, 𝓕∩B deve ser uma σ-álgebra sobre B. Definimos
Verificamos: (i) B=(Ω∈𝓕)⇒B∈𝓕∩B; (ii) se C=A∩B∈𝓕∩B então o complemento em B é B\C=B∩A^c e A^c∈𝓕, logo B∩A^c∈𝓕∩B; (iii) união contável: ∪_{n}(A_n∩B)=(∪_{n}A_n)∩B e ∪_{n}A_n∈𝓕, portanto 𝓕∩B é σ-álgebra.
Passo 3
Definição da medida: para A∩B∈𝓕∩B setamos
Como 𝐏(A∩B)≥0, fica 𝐏(·|B) não-negativa. Além disso
Passo 4
Normalização: precisamos 𝐏(B|B)=1. De fato,
Passo 5
Aditividade contável: sejam (A_n∩B) disjuntos em B, com A_n∈𝓕 e A_i∩A_j=∅ para i≠j. Então
Isso mostra a aditividade contável.
Passo 6
Concluímos que 𝐏(·|B) é uma medida de probabilidade em (B,𝓕∩B), pois satisfaz não-negatividade, normalização e aditividade contável.
Resposta
(B,𝓕∩B,𝐏(·|B)) é um espaço de probabilidade.