Construa uma figura geométrica que ilustre por que uma reta em R^2 que não contém a origem não é fechada em relação à soma de vetores.

Passo 1

O enunciado pede para construir uma figura geométrica que mostre por que uma reta em R^2 que não passa pela origem não é fechada sob soma de vetores. O conteúdo aqui é noções de espaço vetorial (fechamento sob adição) e subespaço (para ser subespaço, além de fechar na soma, a reta teria de conter o vetor zero).

Passo 2

Escolhemos como exemplo a reta
L = (x,1)mid xinR,
que é a tradução da reta y=0 para cima em uma unidade. Note que (0,0)notin L, então L não contém o vetor nulo.

Passo 3

Marcamos dois vetores de ponta em L. Para isso, representamos vetores livres pela seta que vai da origem até o ponto em L. Por exemplo, definimos
u = (1,1), v = (2,1),
cujas extremidades estão em L. Geometricamente, desenhe o eixo x, o eixo y e a linha reta horizontal passando por y=1. Em seguida, desenhe as setas Ou de O=(0,0) até A=(1,1) e Ov de O até B=(2,1).

Passo 4

Para ver se L é fechada sob soma, somamos
u+v = (1,1)+(2,1) = (3,2)
Construa o paralelogramo: a partir de A=(1,1) desenhe uma seta paralela a Ov, e a partir de B=(2,1) desenhe uma seta paralela a Ou. A diagonal que sai de O até o vértice oposto desse paralelogramo é O(u+v).

Passo 5

Observe que o ponto C = (3,2), extremidade de O(u+v), não está na reta L (pois em L toda coordenada y vale exatamente 1, mas aqui vale 2). Logo O(u+v)notin L.

Resposta

A figura (e o cálculo acima) mostra que, embora uin L e vin L, temos u+vnotin L. Portanto a reta L que não contém a origem não é fechada sob adição de vetores.

Exercícios relacionados