Construa uma figura geométrica que ilustre por que uma reta em que não contém a origem não é fechada em relação à soma de vetores.
Passo 1
O enunciado pede para construir uma figura geométrica que mostre por que uma reta em que não passa pela origem não é fechada sob soma de vetores. O conteúdo aqui é noções de espaço vetorial (fechamento sob adição) e subespaço (para ser subespaço, além de fechar na soma, a reta teria de conter o vetor zero).
Passo 2
Escolhemos como exemplo a reta
que é a tradução da reta para cima em uma unidade. Note que , então não contém o vetor nulo.
Passo 3
Marcamos dois vetores de ponta em . Para isso, representamos vetores livres pela seta que vai da origem até o ponto em . Por exemplo, definimos
cujas extremidades estão em . Geometricamente, desenhe o eixo , o eixo e a linha reta horizontal passando por . Em seguida, desenhe as setas de O=(0,0) até A=(1,1) e Ov de O até B=(2,1).
Passo 4
Para ver se L é fechada sob soma, somamos
u+v = (1,1)+(2,1) = (3,2)
Construa o paralelogramo: a partir de A=(1,1) desenhe uma seta paralela a Ov, e a partir de B=(2,1) desenhe uma seta paralela a Ou. A diagonal que sai de O até o vértice oposto desse paralelogramo é O(u+v).
Passo 5
Observe que o ponto C = (3,2), extremidade de O(u+v), não está na reta L (pois em L toda coordenada y vale exatamente 1, mas aqui vale 2). Logo O(u+v)notin L.
Resposta
A figura (e o cálculo acima) mostra que, embora uin L e vin L, temos u+vnotin L. Portanto a reta L que não contém a origem não é fechada sob adição de vetores.