Seja H o conjunto de todos os vetores da forma [cs 3 s 2 s]. Determine um vetor v em R^3 tal que H=Lv. Por que isso mostra que H é um subespaço de R^3 ?

Passo 1

O enunciado define
H = ls 3s 2s mid sinRr
O conteúdo aqui é identificar que todos esses vetores são múltiplos de um mesmo vetor e, em seguida, usar a noção de span (geração linear) para mostrar que H é um subespaço de R^3.

Passo 2

Observe que todo vetor de H pode ser escrito como
s 3s 2s = s 1 3 2
Isto significa que cada elemento de H é um escalar s vezes o vetor 132.

Passo 3

Definimos
v = 1 3 2
Então claramente
Lv = ,alpha,vmid alphainR = ls 3s 2smid sinRr = H

Passo 4

Por definição, Lv (o span de v) é o menor subespaço de R^3 que contém v. Como H=Lv, segue que H satisfaz as três propriedades de subespaço:
  1. Contém o vetor zero (basta tomar alpha=0).
  2. É fechado sob soma de vetores (soma de dois múltiplos de v continua sendo um múltiplo de v).
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

v=132, e como H=Lv, segue imediatamente que H é um subespaço de R^3.

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