Seja
o conjunto de todos os vetores da forma
. Mostre que
H é um subespaço de
R^3 . (Use o método do Exercício 9.)
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrarmos que
H é um subespaço de
R^3 . Para isso, vamos usar a definição de subespaço vetorial: precisamos verificar que
- o vetor nulo de
pertence aR^3 ;H -
é fechado sob soma de vetores;H -
é fechado sob multiplicação escalar.H
Passo 2
Verificamos que o vetor nulo
0=(0,0,0)^T pertence a
H . Basta escolher
t=0 . Então
logo
0in H .
Passo 3
Fechamento sob soma. Tomemos dois vetores quaisquer de
H , digamos
com
t1,t2inR . A soma é
Como
t1+t2 é real, esse vetor também está em
H . Portanto
H é fechado sob soma.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar. Seja
u = l(2t,0,-tr)^Tin H e
alphainR . Então
e
alpha t é real, logo
alpha,uin H .
Passo 5
Como
H contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que
H é um subespaço de
R^3 .