Seja H o conjunto de todos os vetores da forma [c2 t 0 -t]. Mostre que H é um subespaço de R^3. (Use o método do Exercício 9.)

Passo 1

O enunciado define
H = 2t0-t ;midd<=|; tinRsubseteqR^3
e pede para mostrarmos que H é um subespaço de R^3. Para isso, vamos usar a definição de subespaço vetorial: precisamos verificar que
  1. o vetor nulo de R^3 pertence a H;
  2. H é fechado sob soma de vetores;
  3. H é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor nulo 0=(0,0,0)^T pertence a H. Basta escolher t=0. Então
2cdot 00-0 = 000,
logo 0in H.

Passo 3

Fechamento sob soma. Tomemos dois vetores quaisquer de H, digamos
u = 2t10-t1, v = 2t20-t2,
com t1,t2inR. A soma é
u + v = 2t1+2t20+0-t1 - t2 = 2(t1+t2)0-(t1+t2)
Como t1+t2 é real, esse vetor também está em H. Portanto H é fechado sob soma.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja u = l(2t,0,-tr)^Tin H e alphainR. Então
alpha,u = alpha 2t0-t = 2(alpha t)0-(alpha t),
e alpha t é real, logo alpha,uin H.

Passo 5

Como H contém o vetor nulo e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que H é um subespaço de R^3.

Resposta

H é subespaço de R^3.

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