Seja V o primeiro quadrante do plano x y, ou seja, V=[lx y]: x >= 0, y >= 0
a. Se u ev estiverem em V, será que u+v estará em V ? Por quê?
b. Determine um vetor específico v em V e um escalar específico c tal que c v não pertence a V. (Isso é suficiente para mostrar que V não é um espaço vetorial.)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com vetores no primeiro quadrante do plano xy, ou seja, onde tanto x quanto y são maiores ou iguais a zero. O que queremos analisar é se, somando dois vetores desse conjunto, o resultado ainda está no primeiro quadrante, e também se multiplicar um vetor desse conjunto por um escalar pode fazer ele sair do primeiro quadrante. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos básicos de álgebra vetorial, como soma de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 2

Vamos para a parte (a): Se u e v estão em V, será que u + v também está em V? Primeiro, lembramos que um vetor u em V tem componentes não negativas, ou seja, u = ux uy com ux >= 0 e uy >= 0. O mesmo vale para v.

Passo 3

Quando somamos dois vetores, somamos suas componentes correspondentes. Então, u + v = ux + vx uy + vy. Como ux >= 0 e vx >= 0, a soma ux + vx também será maior ou igual a zero. O mesmo ocorre com uy + vy.

Passo 4

Portanto, u + v terá ambas as componentes não negativas, o que significa que u + v está no conjunto V. Isso mostra que a soma de dois vetores em V permanece em V.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b): Precisamos encontrar um vetor específico v em V e um escalar c tal que cv não está em V. Isso vai nos ajudar a mostrar que V não é um espaço vetorial.

Passo 6

Vamos escolher um vetor em V, por exemplo, v = 1 1. Claramente, ambos os componentes são não negativos, então v está em V.

Passo 7

Agora, vamos escolher um escalar c que, quando multiplicado por v, fará com que pelo menos uma das componentes do vetor resultante seja negativa. Vamos escolher c = -1.

Passo 8

Multiplicando o vetor v por c, temos:
cv = -1 times 1 1 = -1 -1
Neste caso, ambas as componentes são negativas.

Passo 9

Como -1 < 0 tanto para a componente x quanto para a y, o vetor resultante -1 -1 não está no conjunto V, já que os componentes precisam ser não negativos para pertencer a V.

Resposta

a. Sim, u + v estará em V porque a soma das componentes não negativas resulta em componentes não negativas.
b. Por exemplo, tomando v = 1 1 e c = -1, temos cv = -1 -1, que não pertence a V. Isso mostra que V não é um espaço vetorial.

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