Construa uma função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} que é contínua em um único ponto.

Passo 1

O enunciado pede uma função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} que seja contínua em exatamente um ponto. Vamos usar a teoria de continuidade: f é contínua em c se, para toda sequência x_n\to c, f(x_n)\to f\text{(c)}. Também vamos explorar o fato de que os conjuntos de racionais \mathbb{Q} e irracionais \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} são densos em \mathbb{R}.

Passo 2

Definimos
f(x) = \begin{cases} x, & x\in \mathbb{Q},\\\\ 0, & x\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \end{cases}
Em particular, f(0)=0 (pois 0\in\mathbb{Q}). Agora vamos verificar os pontos de continuidade.

Passo 3

Mostramos que f é contínua em 0. Seja (x_n) uma sequência real qualquer com x_n\to 0.
  • Se x_n\in \mathbb{Q}, então f(x_n)=x_n\to 0=f(0).
  • Se x_n\notin \mathbb{Q}, então f(x_n)=0 para todo n, logo f(x_n)\to 0=f(0).
    Como toda sequência x_n\to 0 satisfaz f(x_n)\to f(0), f é contínua em 0.

Passo 4

Mostramos que f é descontínua em qualquer c\neq 0. Tome c\neq 0.
  • Como \mathbb{Q} é denso, existe uma sequência (r_n)\subset\mathbb{Q} com r_n\to c. Para esses r_n, f(r_n)=r_n\to c.
  • Como \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} é também denso, existe outra sequência (s_n)\subset\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} com s_n\to c. Para esses s_n, f(s_n)=0\to 0.
    Como c\neq 0, temos \lim f(r_n)=c\neq 0=\lim f(s_n). Logo o limite \lim_{x\to c}f(x) não existe, e f é descontínua em c.

Resposta

A função
f(x) = \begin{cases} x, & x\in \mathbb{Q},\\\\ 0, & x\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, \end{cases}
é contínua somente em x=0.

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