Determine os pontos de continuidade de cada uma das funções abaixo.
f(x)=\left\{\begin{array}{l}0, \text { se } x \text { é irracional , } \\\\ 1, \text { se } x \text { é racional. }\end{array}\right.éé
Obs.:
\lfloor x\rfloor é o maior inteiro menor ou igual a x.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} 0,&\text{se \(x\) é irracional},\\ 1,&\text{se \(x\) é racional}, \end{cases}éé
e pede os pontos em que f é contínua. O conteúdo é continuidade de função real, e vamos usar a definição \varepsilon
obreakdash– \delta (ou critério sequencial) e o fato de que qualquer intervalo real contém números racionais e irracionais.

Passo 2

Recordando a definição: f é contínua em x_0 se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que
|x - x_0|<\delta\quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.

Passo 3

Fixe um ponto arbitrário x_0\in\mathbb{R}. Vamos mostrar que f não satisfaz essa condição em x_0. Escolha
\varepsilon = \tfrac12.

Passo 4

Seja qualquer \delta>0. O intervalo (x_0-\delta,x_0+\delta) sempre contém ao mesmo tempo números racionais e irracionais.
  • Se x_0 é racional, então f(x_0)=1, mas no intervalo há um irracional y com |y-x_0|<\delta e f(y)=0, daí
|f(y)-f(x_0)|=|0-1|=1>\tfrac12.
  • Se x_0 é irracional, então f(x_0)=0, mas no intervalo há um racional y com |y-x_0|<\delta e f(y)=1, daí
|f(y)-f(x_0)|=|1-0|=1>\tfrac12.
Em ambos os casos, não conseguimos |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon para todo x no \delta
obreakdash–vizinhança.

Passo 5

Como para qualquer x_0 e qualquer \delta>0 sempre existe x com |x-x_0|<\delta que viola a condição de continuidade, concluímos que f é descontínua em todo ponto de \mathbb{R}.

Resposta

A função f não é contínua em nenhum ponto de \mathbb{R}.

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