Use integração por partes para calcular as integrais abaixo, durante a integração em alguns itens você vai precisar usar o método de integração por substituição.
\int 4 x \operatorname{sec} ^{2}(3 x) \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 4x\,\operatorname{sec}^2(3x)\,\mathrm{d}x
usando integração por partes e, quando necessário, substituição. Vamos ver que conteúdo precisamos: primeiro aplicar partes em x e \operatorname{sec}^2(3x), depois usar substituição para integrar \operatorname{sec}^2(3x) e \tan(3x).

Passo 2

Separe a integral em
\int 4x\,\operatorname{sec}^2(3x)\,\mathrm{d}x =4\int x\,\operatorname{sec}^2(3x)\,\mathrm{d}x
e aplique integração por partes em \int x\,\operatorname{sec}^2(3x)\,\mathrm{d}x. Escolha
u = x,\quad \mathrm{d}v = \operatorname{sec}^2(3x)\,\mathrm{d}x.
Então
\mathrm{d}u = \mathrm{d}x \quad\text{e}\quad v = \int \operatorname{sec}^2(3x)\,\mathrm{d}x.
Para achar v, use substituição t=3x, \mathrm{d}t=3\,\mathrm{d}x:
v = \int \operatorname{sec}^2(t)\,\frac{\mathrm{d}t}{3} =\frac{1}{3}\tan(t) =\frac{1}{3}\tan(3x).

Passo 3

Agora a fórmula de partes diz
\int x\,\operatorname{sec}^2(3x)\,\mathrm{d}x = u\,v - \int v\,\mathrm{d}u = x\cdot\frac{1}{3}\tan(3x) - \int \frac{1}{3}\tan(3x)\,\mathrm{d}x.
Logo,
\int x\,\operatorname{sec}^2(3x)\,\mathrm{d}x =\frac{x}{3}\tan(3x) -\frac{1}{3}\int \tan(3x)\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Resta calcular \displaystyle\int \tan(3x)\,\mathrm{d}x. Usando a fórmula conhecida \displaystyle\int \tan(ax)\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{a}\ln\bigl|\cos(ax)\bigr|,
com a=3, temos
\int \tan(3x)\,\mathrm{d}x =-\frac{1}{3}\ln\bigl|\cos(3x)\bigr|.
Substituindo em \int x\,\operatorname{sec}^2(3x)\,\mathrm{d}x:
\int x\,\operatorname{sec}^2(3x)\,\mathrm{d}x =\frac{x}{3}\tan(3x) -\frac{1}{3}\Bigl(-\frac{1}{3}\ln\bigl|\cos(3x)\bigr|\Bigr) =\frac{x}{3}\tan(3x) +\frac{1}{9}\ln\bigl|\cos(3x)\bigr|.

Passo 5

Finalmente multiplique por 4 para voltar à integral original:
\int 4x\,\operatorname{sec}^2(3x)\,\mathrm{d}x =4\left(\frac{x}{3}\tan(3x)+\frac{1}{9}\ln\bigl|\cos(3x)\bigr|\right)+C =\frac{4x}{3}\tan(3x)+\frac{4}{9}\ln\bigl|\cos(3x)\bigr|+C.

Resposta

\frac{4x}{3}\tan(3x)+\frac{4}{9}\ln\bigl|\cos(3x)\bigr|+C.

Exercícios relacionados