Construa uma função ímpar f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} cujo gráfico passa por (1,5) e (-2,3).

Passo 1

O enunciado pede uma função ímpar f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} que satisfaça f(1)=5 e f(-2)=3. Lembrando que uma função é ímpar se, para todo x, vale
f(-x)=-f(x).
Isso nos força a ter f(-1)=-5 e também, a partir de f(-2)=3, obter f(2)=-3.

Passo 2

Para garantir que f seja ímpar de modo simples, escolhemos um polinômio de grau mínimo que já seja ímpar, ou seja,
f(x)=a\,x^{3}+b\,x,
pois termos somente potências ímpares garante a paridade ímpar.

Passo 3

Usamos as condições nos pontos:
\begin{cases} f(1)=a\cdot1^{3}+b\cdot1=a+b=5,\\\ f(2)=a\cdot2^{3}+b\cdot2=8a+2b=-3. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema
\begin{cases} a+b=5,\\\\ 8a+2b=-3, \end{cases}
subtraindo duas vezes a primeira equação da segunda:
8a+2b-2(a+b)=-3-2\cdot5 \quad\Longrightarrow\quad6a=-13 \quad\Longrightarrow\quad a=-\tfrac{13}{6},
e então
b=5-a=5-(-\tfrac{13}{6})=\tfrac{30}{6}+\tfrac{13}{6}=\tfrac{43}{6}.

Passo 5

Substituindo a e b de volta, obtemos
f(x)=-\tfrac{13}{6}\,x^{3}+\tfrac{43}{6}\,x,
que é de fato ímpar e satisfaz as condições do enunciado.

Resposta

f(x)=-\frac{13}{6}\,x^{3}+\frac{43}{6}\,x.

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