Se f é par e inversível, sua inversa f^{-1} é par? Justifique.

Passo 1

O enunciado diz que f é par e inversível.
Uma função f é par se, para todo x em seu domínio,
f(-x)=f(x).
Ela é inversível se for bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora, de modo que exista f^{-1} satisfazendo
f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=x \quad\text{e}\quad f\bigl(f^{-1}(y)\bigr)=y.

Passo 2

Aplico f^{-1} à igualdade f(-x)=f(x). Como f é inversível, temos
f^{-1}\bigl(f(-x)\bigr)=f^{-1}\bigl(f(x)\bigr) \;\;\Longrightarrow\;\; -\,x = x.
Essa última igualdade só pode ocorrer se
x=0.

Passo 3

Concluímos que, para todo x no domínio de f, obrigatoriamente x=0. Ou seja, a única maneira de f ser ao mesmo tempo par e injetora é ter domínio formado por um único ponto \{0\}.

Resposta

Não existe função não-trivial que seja par e inversível. O único caso possível é o domíniotrivial \{0\}, onde f(0)=c e f^{-1}\text{(c)}=0, mas aí tudo é vacuamente par. Portanto, fora desse caso degenerate, não há inversa de função par.

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