Dada f(x)=\frac{x^{5}-3 x^{3}+x}{x^{4}+1}, verifique se é par, ímpar ou nenhuma das opções.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{x^{5}-3x^{3}+x}{x^{4}+1}
e pede para verificar se ela é par, ímpar ou nenhuma das duas. Para isso, vamos usar a definição de paridade de funções: calcular f(-x) e comparar com f(x).

Passo 2

Calcular f(-x) trocando x por -x em toda a expressão:
f(-x) =\frac{(-x)^{5}-3(-x)^{3}+(-x)}{(-x)^{4}+1} =\frac{-x^{5}+3x^{3}-x}{x^{4}+1}.

Passo 3

Repare que o numerador de f(-x) é exatamente o negativo do numerador de f(x), enquanto o denominador permanece o mesmo. Assim,
f(-x) =\frac{-\bigl(x^{5}-3x^{3}+x\bigr)}{x^{4}+1} =-\,\frac{x^{5}-3x^{3}+x}{x^{4}+1} =-f(x).

Passo 4

Como f(-x)=-f(x) para todo x no domínio, concluímos que a função é ímpar.

Resposta

A função f(x)=\frac{x^{5}-3x^{3}+x}{x^{4}+1} é ímpar.

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