Construa uma função não constante
com infinitos períodos fundamentais distintos.
Passo 1
O problema pede uma função não constante
que tenha infinitos períodos fundamentais distintos. Lembrando que um período fundamental de é um número real
tal que
que tenha infinitos períodos fundamentais distintos. Lembrando que um período fundamental de
-
para todo , - não existe
com para todo .
Passo 2
A ideia é escolher uma sequência infinita de números positivos
tais que nenhum deles seja múltiplo inteiro de outro. Assim cada
acabará sendo um período fundamental. Por exemplo, defina
para
. Como
é transcendente,
nunca é racional para
, logo nenhum
é múltiplo inteiro de outro
.
Passo 3
Agora definimos
Em outras palavras,
sempre que
for múltiplo inteiro de um dos
, e zero nos demais pontos.
Passo 4
Mostramos que
não é constante:
- Em
, claramente para todo , então . - Se escolhermos um
que não seja múltiplo de nenhum , então .
Passo 5
Verificamos que cada
é um período de
. Dados
:
- Se
, existe tal que . Então . - Se
, então , logo . - Se
, então é irracional, e portanto ; mas isso não impede que , pois basta verificar o caso .
- Se
- Se
, então para todo temos . Para ser 1, precisaríamos para algum . Mas - se
, não é inteiro pois não era inteiro; - se
, irracional impede a soma ser inteiro.
Logo.
- se
Passo 6
Mostramos que cada
é, de fato, fundamental (isto é, não há período menor que ele). Suponha que exista
com
para todo
. Em particular
. Mas
, então
deve ser múltiplo inteiro de algum
. Como
, só poderia ocorrer
, o que implica
e
. Mas por construção nenhum
é divisor inteiro de
para
. Logo não existe tal
.
Resposta
Definindo
obtém-se uma função não constante que admite como períodos fundamentais todos os
distintos, gerando assim infinitos períodos fundamentais.