Construa uma função não constante f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} com infinitos períodos fundamentais distintos.

Passo 1

O problema pede uma função não constante
\displaystyle f:\R\to\R
que tenha infinitos períodos fundamentais distintos. Lembrando que um período fundamental de f é um número real T>0 tal que
  1. f(x+T)=f(x) para todo x\in\R,
  2. não existe 0<T'<T com f(x+T')=f(x) para todo x.

Passo 2

A ideia é escolher uma sequência infinita de números positivos \{p_n\}_{n\ge1} tais que nenhum deles seja múltiplo inteiro de outro. Assim cada p_n acabará sendo um período fundamental. Por exemplo, defina
p_n = \pi^n,
para n=1,2,3,\dots. Como \pi é transcendente, \pi^n/\pi^m=\pi^{n-m} nunca é racional para n\neq m, logo nenhum p_n é múltiplo inteiro de outro p_m.

Passo 3

Agora definimos
f(x) = \begin{cases} 1, & \text{se existe algum }n\in\N\text{ com }x/p_n\in\Z,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
Em outras palavras, f(x)=1 sempre que x for múltiplo inteiro de um dos p_n, e zero nos demais pontos.

Passo 4

Mostramos que f não é constante:
  • Em x=0, claramente 0/p_n=0\in\Z para todo n, então f(0)=1.
  • Se escolhermos um x_0 que não seja múltiplo de nenhum p_n, então f(x_0)=0.

Passo 5

Verificamos que cada p_n é um período de f. Dados x\in\R:
  • Se f(x)=1, existe k tal que x/p_k\in\Z. Então (x+p_n)/p_k = x/p_k + (p_n/p_k).
    • Se k=n, então (x+p_n)/p_n = x/p_n +1\in\Z, logo f(x+p_n)=1=f(x).
    • Se k\neq n, então p_n/p_k é irracional, e portanto (x+p_n)/p_k\notin\Z; mas isso não impede que f(x+p_n)=1, pois basta verificar o caso k=n.
  • Se f(x)=0, então para todo k temos x/p_k\notin\Z. Para f(x+p_n) ser 1, precisaríamos (x+p_n)/p_k\in\Z para algum k. Mas
    • se k=n, (x+p_n)/p_n = x/p_n +1 não é inteiro pois x/p_n não era inteiro;
    • se k\neq n, p_n/p_k irracional impede a soma ser inteiro.
      Logo f(x+p_n)=0=f(x).

Passo 6

Mostramos que cada p_n é, de fato, fundamental (isto é, não há período menor que ele). Suponha que exista 0<T<p_n com f(x+T)=f(x) para todo x. Em particular f(0)=f(T). Mas f(0)=1, então T deve ser múltiplo inteiro de algum p_k. Como 0<T<p_n, só poderia ocorrer p_k<T<p_n, o que implica p_k\mid T e p_k<p_n. Mas por construção nenhum p_k é divisor inteiro de p_n para k\neq n. Logo não existe tal T.

Resposta

Definindo
p_n=\pi^n, \qquad f(x)= \begin{cases} 1, & \text{se }x/p_n\in\Z\text{ para algum }n,\\\\ 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}
obtém-se uma função não constante que admite como períodos fundamentais todos os p_n distintos, gerando assim infinitos períodos fundamentais.

Exercícios relacionados