Prove que se
é periódica com período
e ímpar, então
também é período de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é periódica com período
e ímpar (ou seja,
para todo
), então
também seria um período de
. Vamos revisar as definições:
– é periódica de período
significa
–
–
é ímpar significa
Passo 2
Vamos calcular
usando que
é ímpar. Pela definição de ímpar, temos
Passo 3
Como
é periódica de período
, podemos somar
dentro do argumento sem mudar o valor:
Portanto
Passo 4
Agora aplicamos de novo a imparidade, trocando
por
:
Logo
Passo 5
Finalmente, usando novamente a periodicidade de período
, note que deslocar por
é o mesmo que deslocar por
seguido de um inteiro múltiplo de
. Em particular,
Mas isso não prova
; mostra apenas que
De fato, o que encontramos já de passo 3 era
e substituindo concluímos
Mas nada aqui nos leva a
para todo
, a não ser que
.
Resposta
A afirmação “
é período de
” é falsa em geral. Na verdade, para uma função ímpar e periódica de período
vale
de modo que o deslocamento
dá mudança de sinal, não invariância. Por exemplo,
é ímpar e tem período
, mas
O único caso em que
seria realmente período é a função identicamente zero.