Prove que se f é periódica com período T e ímpar, então T / 2 também é período de f.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f é periódica com período T e ímpar (ou seja, f(-x)=-f(x) para todo x), então T/2 também seria um período de f. Vamos revisar as definições:
f é periódica de período T significa
f(x + T) = f(x)\quad\forall x.
f é ímpar significa
f(-x) = -\,f(x)\quad\forall x.

Passo 2

Vamos calcular f(x + T/2) usando que f é ímpar. Pela definição de ímpar, temos
f\bigl(x + \tfrac{T}{2}\bigr) = -\,f\Bigl(-\bigl(x + \tfrac{T}{2}\bigr)\Bigr) = -\,f\bigl(-x - \tfrac{T}{2}\bigr).

Passo 3

Como f é periódica de período T, podemos somar T dentro do argumento sem mudar o valor:
f\bigl(-x - \tfrac{T}{2}\bigr) = f\Bigl(-x - \tfrac{T}{2} + T\Bigr) = f\Bigl(T - x - \tfrac{T}{2}\Bigr) = f\Bigl(\tfrac{T}{2} - x\Bigr).
Portanto
f\bigl(x + \tfrac{T}{2}\bigr) = -\,f\Bigl(\tfrac{T}{2} - x\Bigr).

Passo 4

Agora aplicamos de novo a imparidade, trocando x por \tfrac{T}{2}-x:
f\Bigl(\tfrac{T}{2}-x\Bigr) = -\,f\Bigl(-\bigl(\tfrac{T}{2}-x\bigr)\Bigr) = -\,f\Bigl(x - \tfrac{T}{2}\Bigr).
Logo
f\bigl(x + \tfrac{T}{2}\bigr) = -\bigl(-\,f(x - \tfrac{T}{2})\bigr) = f\bigl(x - \tfrac{T}{2}\bigr).

Passo 5

Finalmente, usando novamente a periodicidade de período T, note que deslocar por -T/2 é o mesmo que deslocar por +T/2 seguido de um inteiro múltiplo de T. Em particular,
f\bigl(x - \tfrac{T}{2}\bigr) = f\Bigl(x - \tfrac{T}{2} + T\Bigr) = f\Bigl(x + \tfrac{T}{2}\Bigr).
Mas isso não prova f(x+T/2)=f(x); mostra apenas que
f\bigl(x + \tfrac{T}{2}\bigr) = f\bigl(x - \tfrac{T}{2}\bigr).
De fato, o que encontramos já de passo 3 era
f\bigl(x + \tfrac{T}{2}\bigr) = -\,f\bigl(\tfrac{T}{2}-x\bigr),
e substituindo concluímos
f\bigl(x + \tfrac{T}{2}\bigr) = -\bigl(-\,f(x - \tfrac{T}{2})\bigr) = f(x - \tfrac{T}{2}).
Mas nada aqui nos leva a f(x+T/2)=f(x) para todo x, a não ser que f(x)=0.

Resposta

A afirmação “ T/2 é período de fé falsa em geral. Na verdade, para uma função ímpar e periódica de período T vale
f\bigl(x + \tfrac{T}{2}\bigr) = -\,f(x),
de modo que o deslocamento T/2 dá mudança de sinal, não invariância. Por exemplo, f(x)=\sin x é ímpar e tem período 2\pi, mas
\sin\bigl(x+\pi\bigr)=-\sin x \neq \sin x.
O único caso em que T/2 seria realmente período é a função identicamente zero.

Exercícios relacionados