Encontre o período fundamental da função f(x)=\sin (3 x)+\cos \left(\frac{2 x}{5}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\sin(3x)+\cos\!\bigl(\tfrac{2x}{5}\bigr)
e pede o período fundamental dessa soma. O conteúdo envolvido é de funções periódicas, cuja soma também é periódica. Para resolver, vamos (1) encontrar os períodos individuais e (2) calcular o mínimo múltiplo comum desses períodos.

Passo 2

Para \sin(3x), a fórmula geral do período de \sin(bx) é
T_1 = \frac{2\pi}{|b|}.
Aqui b=3, logo
T_1 = \frac{2\pi}{3}.

Passo 3

Para \cos\!\bigl(\tfrac{2x}{5}\bigr), escrevemos o coeficiente de x como b=\tfrac{2}{5}. Assim
T_2 = \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{2/5} = 5\pi.

Passo 4

O período fundamental T de f(x) é o menor T>0 que seja múltiplo inteiro de T_1 e de T_2. Ou seja, existem inteiros k,m tais que
T = k\,T_1 = m\,T_2.
Substituindo T_1 e T_2:
k\cdot\frac{2\pi}{3} \;=\; m\cdot5\pi \quad\Longrightarrow\quad \frac{2k}{3} = 5m \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{15}{2}\,m.
Para k inteiro, escolhemos o menor m par, m=2, dando k=15. Então
T = k\,T_1 = 15\cdot\frac{2\pi}{3} = 10\pi.
Também se confirma por T = m\,T_2 = 2\cdot5\pi = 10\pi.

Resposta

O período fundamental de f(x) é 10\pi.

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