Seja f(x)=a x+b tal que f(f(f(x)))=8 x+21. Determine a e b.

Passo 1

O enunciado pede que a função afim f(x)=a x+b seja composta três vezes consigo mesma e resulte em 8x+21. O que precisamos usar aqui é a composição de funções afins e, depois, comparar coeficientes.

Passo 2

Vamos calcular f(f(x)).
f(f(x)) = f(a x + b) = a\,(a x + b) + b = a^2 x + ab + b.
Agora compomos mais uma vez para obter f(f(f(x))):
f(f(f(x))) = f\bigl(a^2 x + ab + b\bigr) = a\,(a^2 x + ab + b) + b = a^3 x + (a^2 + a + 1)\,b.

Passo 3

Como essa expressão deve ser igual a 8x+21, comparamos coeficientes:
a^3 = 8,
(a^2 + a + 1)\,b = 21.

Passo 4

Da primeira equação segue \,a=2. Substituindo em (2^2 + 2 + 1)\,b = 21 temos
7b = 21 \quad\Longrightarrow\quad b = 3.

Resposta

a = 2, b = 3

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