Construa o gráfico de:
d) f(x)=(12)^-x

Passo 1

O enunciado pede que a gente construa o gráfico da função
f(x)=l(tfrac12r)^-x
O conteúdo aqui é de funções exponenciais e vamos precisar usar propriedades de potências para simplificar a expressão, além de estudar domínio, imagem, pontos notáveis e comportamento assintótico.

Passo 2

Usamos a propriedade de potências
a^-x = l(a^-1r)^x
com a=tfrac12. Então
f(x)=l(tfrac12r)^-x=l((tfrac12)^-1r)^x=2^x
Portanto, o gráfico de f é o mesmo de g(x)=2^x.

Passo 3

Analisamos domínio e imagem de g(x)=2^x:
  • O domínio são todos os reais, isto é, R.
  • A imagem é (0,infty), pois 2^x>0 para todo x.

Passo 4

Montamos uma tabela de pontos notáveis para y=2^x:
c|c x & 2^xhline -2 & 2^-2=tfrac14 -1 & 2^-1=tfrac12 0 & 2^0=1 1 & 2^1=2 2 & 2^2=4

Passo 5

Estudamos o comportamento assintótico e a monotonicidade:
  • Como xto-infty, 2^xto0^+; há uma assíntota horizontal em y=0.
  • Como xto+infty, 2^xto+infty.
  • A função é estritamente crescente e estritamente convexa (concavidade para cima) em todo R.

Passo 6

Esboçamos o gráfico de y=2^x usando a tabela de pontos e a assíntota:
  1. Traçamos os eixos x e y.
  2. Marcamos pontos l(-2,tfrac14r), l(-1,tfrac12r), (0,1), (1,2), (2,4).
  3. Desenhamos a curva passando suavemente por esses pontos, aproximando-se de y=0 à esquerda e subindo rápido à direita.
  4. Riscamos a reta y=0 como assíntota horizontal.

Resposta

O gráfico de f(x)=l(tfrac12r)^-x é exatamente o gráfico da exponencial y=2^x: domínio R, imagem (0,infty), passa por (0,1), (1,2), (-1,tfrac12), tem assíntota horizontal y=0, é crescente e convexa.

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