Derive a função.
y=ln |cos (ln x)|

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
y = lnl|cos(ln x)r|
Aqui vamos usar a regra da cadeia aplicada em cascata: primeiro para a função umapstoln|u|, depois para u=cos(v) e por fim para v=ln x.

Passo 2

Para a função externa y=ln|u|, a derivada é
dydu = 1u,
desde que uneq0. Logo,
dydx = 1u,dudx

Passo 3

Agora tome u=cos(v) com v=ln x. A derivada de u em relação a v é
dudv = -sin(v)
E a derivada de v=ln x em relação a x é
dvdx = 1x
Pela regra da cadeia,
dudx = dudv,dvdx = -sin(ln x),1x

Passo 4

Substituindo em dydx=1u,dudx com u=cos(ln x), obtemos
dydx = -sin(ln x),1xcos(ln x) = -1x,sin(ln x)cos(ln x) = -tan(ln x)x

Resposta

y' = -tan(ln x)x

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