Exercício 4 Por cada um dos seguintes campos vetoriais \mathbf{F}, determine se \mathbf{F} é conservativo. Se sim, calcule um potencial de \mathbf{F}.
\mathbf{F}(x, y, z)=\left(e^{y+2 z}, x e^{y+2 z}+z, 2 x e^{y+2 z}+y+z^{2}\right) em \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(P,Q,R\bigr)
com
P=e^{y+2z},\quad Q=x\,e^{y+2z}+z,\quad R=2x\,e^{y+2z}+y+z^{2}.
O conteúdo é sobre campos conservativos em \mathbb{R}^{3}. Num domínio simplesmente conexo, \mathbf{F} é conservativo se e somente se \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}. Se for conservativo, existe potencial \varphi tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}.

Passo 2

Calculamos as componentes de \nabla\times\mathbf{F}:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}e^{y+2z} =e^{y+2z},\quad \frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xe^{y+2z}+z\bigr) =e^{y+2z};
\frac{\partial P}{\partial z} =2e^{y+2z},\quad \frac{\partial R}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x\,e^{y+2z}+y+z^{2}\bigr) =2e^{y+2z};
\frac{\partial Q}{\partial z} =2x\,e^{y+2z}+1,\quad \frac{\partial R}{\partial y} =2x\,e^{y+2z}+1.
Como todas as componentes cruzadas coincidem, \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}, logo \mathbf{F} é conservativo.

Passo 3

Procuramos \varphi(x,y,z) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} =P=e^{y+2z}.
Integrando em x,
\varphi(x,y,z)=\int e^{y+2z}\,dx =x\,e^{y+2z}+g(y,z),
onde g é função a determinar.

Passo 4

Impondo \partial\varphi/\partial y=Q:
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =x\,e^{y+2z}+\frac{\partial g}{\partial y} \stackrel{!}{=}x\,e^{y+2z}+z \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial g}{\partial y}=z.
Integrando em y,
g(y,z)=y\,z+h(z),
onde h é função de z só.

Passo 5

Impondo \partial\varphi/\partial z=R:
\frac{\partial\varphi}{\partial z} =2x\,e^{y+2z}+y+h'(z) \stackrel{!}{=}2x\,e^{y+2z}+y+z^{2} \quad\Longrightarrow\quad h'(z)=z^{2}.
Integrando em z,
h(z)=\frac{z^{3}}{3}+C.
Assim o potencial geral é
\varphi(x,y,z) = x\,e^{y+2z} + y\,z + \frac{z^{3}}{3} + C.

Resposta

\mathbf{F} é conservativo em \mathbb{R}^{3} e um potencial é
\varphi(x,y,z)=x\,e^{y+2z}+y\,z+\frac{z^{3}}{3}+C.

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