Construa o gráfico do elipsoide dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o elipsoide dado por
O conteúdo é geometria analítica em
, usando traços (interseções com planos) para entender a forma da superfície.
Passo 2
Encontramos os interceptos com os eixos coordenados, definindo duas variáveis nulas em cada caso:
Para o eixo ,
:
Para o eixo
Para o eixo
,
:
Para o eixo
,
:
Logo, os semi-eixos têm comprimentos
,
e
em
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Estudamos os traços em cada plano coordenado:
Para :
Para
elipse no plano
com semi-eixos
e
.
Para :
Para
círculo de raio
no plano
.
Para :
Para
elipse no plano
com semi-eixos
e
.
Passo 4
Em planos paralelos, como
com
, temos
que é sempre uma elipse (diminuindo até desaparecer para
). O mesmo vale para planos
e
.
Passo 5
Para esboçar, marcamos os interceptos
,
,
e ligamos essas “bordas” com as elipses encontradas nos planos coordenados. O resultado é um elipsoide centralizado na origem, eixos alinhados aos eixos coordenados.
Resposta
O gráfico é um elipsoide centrado em
com semi-eixos de comprimento
sobre
,
sobre
e
sobre
.