Construa o gráfico do elipsoide dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{4}=1.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o elipsoide dado por
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}+\frac{z^{2}}{4}=1.
O conteúdo é geometria analítica em \mathbb{R}^3, usando traços (interseções com planos) para entender a forma da superfície.

Passo 2

Encontramos os interceptos com os eixos coordenados, definindo duas variáveis nulas em cada caso:
Para o eixo x y=0, z=0:
\frac{x^2}{4}=1\implies x=\pm2.
Para o eixo y x=0, z=0:
\frac{y^2}{16}=1\implies y=\pm4.
Para o eixo z x=0, y=0:
\frac{z^2}{4}=1\implies z=\pm2.
Logo, os semi-eixos têm comprimentos 2, 4 e 2 em x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Estudamos os traços em cada plano coordenado:
Para z=0:
\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1,
elipse no plano xy com semi-eixos 2 e 4.
Para y=0:
\frac{x^2}{4}+\frac{z^2}{4}=1,
círculo de raio 2 no plano xz.
Para x=0:
\frac{y^2}{16}+\frac{z^2}{4}=1,
elipse no plano yz com semi-eixos 4 e 2.

Passo 4

Em planos paralelos, como x=x_0 com |x_0|\le2, temos
\frac{y^2}{16}+\frac{z^2}{4}=1-\frac{x_0^2}{4},
que é sempre uma elipse (diminuindo até desaparecer para |x_0|=2). O mesmo vale para planos y=y_0 e z=z_0.

Passo 5

Para esboçar, marcamos os interceptos (\pm2,0,0), (0,\pm4,0), (0,0,\pm2) e ligamos essas “bordas” com as elipses encontradas nos planos coordenados. O resultado é um elipsoide centralizado na origem, eixos alinhados aos eixos coordenados.

Resposta

O gráfico é um elipsoide centrado em (0,0,0) com semi-eixos de comprimento 2 sobre x, 4 sobre y e 2 sobre z.

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