Construa o gráfico do elipsoide dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o elipsoide de equação
e estudar seus traços, ou seja, as interseções dessa superfície com planos coordenados e planos paralelos a eles. Para isso vamos precisar achar interceptos com os eixos e expressar as curvas resultantes quando fixamos uma das coordenadas.
Passo 2
Primeiro encontramos os interceptos da superfície com cada eixo, bastando anular as outras duas variáveis:
– Em e
sobra
, logo
.
– Em e
sobra
, logo
.
– Em e
sobra
, logo
.
– Em
– Em
– Em
Passo 3
Agora os traços nos planos coordenados (caso em que fixamos uma coordenada igual a zero):
Em a curva é
Em
uma elipse com semi-eixo maior
ao longo de
e semi-eixo menor
ao longo de
.
Em a curva é
Em
uma elipse nos eixos
e
com semi-eixos
e
.
Em a curva é
Em
uma elipse nos eixos
e
com semi-eixos
e
.
Passo 4
Para traços horizontais, fixamos
. Se
não há solução; se
a interseção é
que é elipse de semi-eixos
em
e
em
. No máximo em
volta à elipse do passo anterior, e em
reduz-se a um ponto.
Passo 5
Para traços verticais paralelos ao plano
, fixamos
. Se
a interseção é
elipse de semi-eixos
em
e
em
. Fora desse intervalo não há ponto. Analogamente, fixando
com
obtemos
Passo 6
Com esses traços você consegue visualizar que a superfície é um elipsoide centrado na origem, achatado nos eixos de acordo com os semi-eixos
,
e
. Basta marcar os interceptos
,
,
e desenhar elipses suaves ligando esses pontos conforme os traços descritos.
Resposta
O gráfico é um elipsoide centrado na origem com semi-eixos de comprimentos
ao longo de
,
ao longo de
e
ao longo de
.