Construa o gráfico do elipsoide dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+z^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o elipsoide de equação
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}+z^{2}=1
e estudar seus traços, ou seja, as interseções dessa superfície com planos coordenados e planos paralelos a eles. Para isso vamos precisar achar interceptos com os eixos e expressar as curvas resultantes quando fixamos uma das coordenadas.

Passo 2

Primeiro encontramos os interceptos da superfície com cada eixo, bastando anular as outras duas variáveis:
– Em y=0 e z=0 sobra \tfrac{x^{2}}{4}=1, logo x=\pm2.
– Em x=0 e z=0 sobra \tfrac{y^{2}}{9}=1, logo y=\pm3.
– Em x=0 e y=0 sobra z^{2}=1, logo z=\pm1.

Passo 3

Agora os traços nos planos coordenados (caso em que fixamos uma coordenada igual a zero):
Em z=0 a curva é
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1,
uma elipse com semi-eixo maior 3 ao longo de y e semi-eixo menor 2 ao longo de x.
Em y=0 a curva é
\frac{x^{2}}{4}+z^{2}=1,
uma elipse nos eixos x e z com semi-eixos 2 e 1.
Em x=0 a curva é
\frac{y^{2}}{9}+z^{2}=1,
uma elipse nos eixos y e z com semi-eixos 3 e 1.

Passo 4

Para traços horizontais, fixamos z=k. Se \lvert k\rvert>1 não há solução; se \lvert k\rvert\le1 a interseção é
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1 - k^{2},
que é elipse de semi-eixos 2\sqrt{1-k^{2}} em x e 3\sqrt{1-k^{2}} em y. No máximo em k=0 volta à elipse do passo anterior, e em k=\pm1 reduz-se a um ponto.

Passo 5

Para traços verticais paralelos ao plano yz, fixamos x=h. Se \lvert h\rvert\le2 a interseção é
\frac{y^{2}}{9}+z^{2}=1 - \frac{h^{2}}{4},
elipse de semi-eixos 3\sqrt{1 - \tfrac{h^{2}}{4}} em y e \sqrt{1 - \tfrac{h^{2}}{4}} em z. Fora desse intervalo não há ponto. Analogamente, fixando y=\ell com \lvert \ell\rvert\le3 obtemos
\frac{x^{2}}{4}+z^{2}=1 - \frac{\ell^{2}}{9}.

Passo 6

Com esses traços você consegue visualizar que a superfície é um elipsoide centrado na origem, achatado nos eixos de acordo com os semi-eixos a=2, b=3 e c=1. Basta marcar os interceptos (\pm2,0,0), (0,\pm3,0), (0,0,\pm1) e desenhar elipses suaves ligando esses pontos conforme os traços descritos.

Resposta

O gráfico é um elipsoide centrado na origem com semi-eixos de comprimentos 2 ao longo de x, 3 ao longo de y e 1 ao longo de z.

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