Construa o gráfico de :
f(x)=x^{4}-4 x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=x^{4}-4x.
Conteúdo: análise de função polinomial (grau 4). Para construir o gráfico, vamos precisar de domínio, interceptos, derivada para extremos e monotonia, segunda derivada para concavidade, e comportamento em x\to\pm\infty.

Passo 2

Domínio e interceptos
O polinômio está definido para todo real, logo o domínio é \mathbb{R}.
– Intercepto em y: em x=0 temos
f(0)=0^{4}-4\cdot0=0,
logo a curva passa por (0,0).
– Interceptos em x: resolvemos
x^{4}-4x=0\quad\Longrightarrow\quad x(x^{3}-4)=0,
resultando em x=0 e x=\sqrt[\,3]{4}\approx1,587. São as únicas raízes reais.

Passo 3

Derivada, pontos críticos e monotonia
Calculamos
f'(x)=4x^{3}-4=4\bigl(x^{3}-1\bigr).
Igualando a zero, x^{3}-1=0 x=1.
– Para x<1, x^{3}-1<0 implica f'(x)<0 (função decrescente).
– Para x>1, x^{3}-1>0 implica f'(x)>0 (função crescente).
Em x=1, temos extremum. O valor é
f(1)=1^{4}-4\cdot1=-3.
Logo há um mínimo global em \bigl(1,-3\bigr).

Passo 4

Segunda derivada e concavidade
f''(x)=12x^{2}.
Como f''(x)\ge0 para todo x e só zera em x=0 sem mudança de sinal, a curva é côncava para cima em toda parte, sem ponto de inflexão real.

Passo 5

Comportamento assintótico
– À medida que x\to+\infty, x^{4} domina e f(x)\to+\infty.
– Para x\to-\infty, x^{4} também cresce e f(x)\to+\infty.
Assim a curva vem de +\infty, decresce até o mínimo em (1,-3) e volta a crescer para +\infty.

Passo 6

Esboço qualitativo do gráfico
  1. A curva parte de +\infty em x\to-\infty.
  2. Desce sem inflexão, cruza o eixo x em (0,0).
  3. Continua decrescendo até o mínimo em \bigl(1,-3\bigr).
  4. A partir de x=1 sobe, cruza novamente o eixo x em \bigl(\sqrt[3]{4},0\bigr).
  5. Prossegue subindo e vai para +\infty em x\to+\infty.

Resposta

O gráfico de f(x)=x^4-4x é uma curva côncava para cima, decrescente em (-\infty,1), com mínimo global em \bigl(1,-3\bigr), e crescente em (1,\infty), cruzando o eixo x em (0,0) e \bigl(\sqrt[3]{4},0\bigr).

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