Construa o gráfico de :
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
Conteúdo: análise de função polinomial (grau 4). Para construir o gráfico, vamos precisar de domínio, interceptos, derivada para extremos e monotonia, segunda derivada para concavidade, e comportamento em
.
Passo 2
Domínio e interceptos
O polinômio está definido para todo real, logo o domínio é .
– Intercepto em : em
temos
O polinômio está definido para todo real, logo o domínio é
– Intercepto em
logo a curva passa por
.
– Interceptos em : resolvemos
– Interceptos em
resultando em
e
. São as únicas raízes reais.
Passo 3
Derivada, pontos críticos e monotonia
Calculamos
Calculamos
Igualando a zero,
dá
.
– Para ,
implica
(função decrescente).
– Para ,
implica
(função crescente).
Em , temos extremum. O valor é
– Para
– Para
Em
Logo há um mínimo global em
.
Passo 4
Segunda derivada e concavidade
Como
para todo
e só zera em
sem mudança de sinal, a curva é côncava para cima em toda parte, sem ponto de inflexão real.
Passo 5
Comportamento assintótico
– À medida que ,
domina e
.
– Para ,
também cresce e
.
Assim a curva vem de , decresce até o mínimo em
e volta a crescer para
.
– À medida que
– Para
Assim a curva vem de
Passo 6
Esboço qualitativo do gráfico
- A curva parte de
em . - Desce sem inflexão, cruza o eixo
em . - Continua decrescendo até o mínimo em
. - A partir de
sobe, cruza novamente o eixo em . - Prossegue subindo e vai para
em .
Resposta
O gráfico de
é uma curva côncava para cima, decrescente em
, com mínimo global em
, e crescente em
, cruzando o eixo
em
e
.