Construa o gráfico de :
.
Passo 1
O enunciado pede para construirmos o gráfico da função
Este problema envolve reconhecimento de transformações de uma função recíproca básica, determinação de domínio e assíntotas, estudo de sinais e escolha de pontos para esboçar uma hipérbole.
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio e as assíntotas. O denominador não pode ser zero, logo o domínio é
Como
, o valor de
vai para
, portanto há assíntota vertical em
Como , temos
Como
logo há assíntota horizontal em
Passo 3
Em seguida vemos como
se obtém a partir da função base
. Note que
Isto significa duas transformações em
:
- translação para a direita em 2 unidades (substituir
por ), - esticamento vertical por fator 3 (multiplicar por 3).
Passo 4
Estudamos agora o sinal e comportamento em cada ramo:
- Para
, o denominador é positivo, então . Conforme , ; conforme , . É um ramo decrescente e positivo. - Para
, o denominador é negativo, então . Conforme , ; conforme , . É um ramo crescente (em valor absoluto decrescente) e negativo.
Passo 5
Para facilitar o esboço, escolhemos pontos notáveis:
Passo 6
Para traçar o gráfico:
- Desenhe os eixos
e . - Marque as assíntotas tracejadas
(vertical) e (horizontal). - Plote os pontos
, no ramo de cima e , no ramo de baixo. - Una-os suavemente, fazendo com que cada ramo se aproxime das assíntotas sem tocá-las.
Resposta
O gráfico de
é uma hipérbole com duas partes:
- ramo positivo para
, passando por e , aproximando-se de e ; - ramo negativo para
, passando por e , aproximando-se de e .
As assíntotas são(vertical) e (horizontal).