Construa o gráfico de :
f(x)=\frac{3}{x-2}.

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o gráfico da função
f(x)=\frac{3}{x-2}.
Este problema envolve reconhecimento de transformações de uma função recíproca básica, determinação de domínio e assíntotas, estudo de sinais e escolha de pontos para esboçar uma hipérbole.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio e as assíntotas. O denominador não pode ser zero, logo o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 2\}.
Como x\to2, o valor de f(x) vai para \pm\infty, portanto há assíntota vertical em x=2.
Como x\to\pm\infty, temos
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3}{x-2}=0,
logo há assíntota horizontal em y=0.

Passo 3

Em seguida vemos como f se obtém a partir da função base g(x)=\frac1x. Note que
f(x)=3\;\frac1{x-2}=3\,g(x-2).
Isto significa duas transformações em g:
  1. translação para a direita em 2 unidades (substituir x por x-2),
  2. esticamento vertical por fator 3 (multiplicar por 3).

Passo 4

Estudamos agora o sinal e comportamento em cada ramo:
  • Para x>2, o denominador é positivo, então f(x)>0. Conforme x\to2^+, f\to+\infty; conforme x\to+\infty, f\to0^+. É um ramo decrescente e positivo.
  • Para x<2, o denominador é negativo, então f(x)<0. Conforme x\to2^-, f\to-\infty; conforme x\to-\infty, f\to0^-. É um ramo crescente (em valor absoluto decrescente) e negativo.

Passo 5

Para facilitar o esboço, escolhemos pontos notáveis:
x=3\implies f(3)=\frac{3}{3-2}=3,\quad x=4\implies f(4)=\frac{3}{4-2}=1,
x=1\implies f(1)=\frac{3}{1-2}=-3,\quad x=0\implies f(0)=\frac{3}{0-2}=-\frac32.

Passo 6

Para traçar o gráfico:
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque as assíntotas tracejadas x=2 (vertical) e y=0 (horizontal).
  3. Plote os pontos (3,3), (4,1) no ramo de cima e (1,-3), (0,-\tfrac32) no ramo de baixo.
  4. Una-os suavemente, fazendo com que cada ramo se aproxime das assíntotas sem tocá-las.

Resposta

O gráfico de \,f(x)=\frac{3}{x-2}\, é uma hipérbole com duas partes:
  • ramo positivo para x>2, passando por (3,3) e (4,1), aproximando-se de x=2 e y=0;
  • ramo negativo para x<2, passando por (1,-3) e (0,-\tfrac32), aproximando-se de x=2 e y=0.
    As assíntotas são x=2 (vertical) e y=0 (horizontal).

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