Construa o gráfico de :
f(x)=7+12 x-2 x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para “construir o gráfico” da função quadrática
f(x)=7+12x-2x^{2}.
O conteúdo envolvido é representação de parábola: vamos precisar identificar sua concavidade, vértice, eixo de simetria e interceptos com os eixos.

Passo 2

Para decidir a concavidade e o formato, note que a função geral é
f(x)=ax^{2}+bx+c
com a=-2, b=12 e c=7. Como a<0, a parábola abre para baixo, isto é, tem concavidade voltada para baixo.

Passo 3

O vértice (x_{v},y_{v}) de uma parábola \;ax^{2}+bx+c; está em
x_{v}=-\frac{b}{2a}
Logo
x_{v}=-\frac{12}{2\cdot(-2)}=3.
Para y_{v} basta avaliar f(3):
y_{v}=f(3)=7+12\cdot3-2\cdot3^{2}=7+36-18=25.
Portanto o vértice é (3,25). O eixo de simetria é a reta vertical x=3.

Passo 4

Intercepto com o eixo y obtém-se em x=0:
f(0)=7,
então passa por (0,7). Para as raízes (interceptos com o eixo x) resolvemos
-2x^{2}+12x+7=0.
O discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac=12^{2}-4\cdot(-2)\cdot7=144+56=200.
As soluções são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{-12\pm10\sqrt{2}}{-4} =\frac{12\mp10\sqrt{2}}{4} =3\mp\frac{5\sqrt{2}}{2}.
Numericamente, as raízes ficam aproximadamente em \;x\approx-0,536 e x\approx6,536.

Passo 5

Com esses dados, esboce o gráfico:
  • Desenhe eixos cartesianos.
  • Marque o vértice (3,25) e trace a reta de simetria x=3.
  • Marque o ponto de intercepto em (0,7).
  • Marque as raízes em \bigl(-0,536,0\bigr) e \bigl(6,536,0\bigr).
  • Como a parábola abre para baixo, una esses pontos formando a curva característica de uma parábola.

Resposta

O gráfico de f(x)=7+12x-2x^{2} é uma parábola com concavidade para baixo, vértice em (3,25), eixo de simetria x=3, intercepto em y no ponto (0,7) e interceptos em x aproximadamente em \bigl(-0,536,0\bigr) e \bigl(6,536,0\bigr).

Exercícios relacionados