Construa o gráfico de :
f(x)=x^{3}+3 x-2.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
f(x)=x^{3}+3x-2.
O que vamos precisar: domínio e limites em \pm\infty, derivada para monotonicidade, segunda derivada para concavidade, interceptos com eixos e ponto de inflexão.

Passo 2

Domínio e comportamento em infinidades. Como é um polinômio, o domínio é todo \mathbb{R}.
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.

Passo 3

Derivada primeira e monotonicidade.
f'(x)=3x^{2}+3=3\bigl(x^{2}+1\bigr)>0\quad\forall x\in\mathbb{R}.
Logo f é estritamente crescente em todo o domínio e não tem máximos nem mínimos locais.

Passo 4

Derivada segunda e concavidade.
f''(x)=6x.
Para x<0 temos f''(x)<0 (concavidade para baixo) e para x>0 temos f''(x)>0 (concavidade para cima). O ponto de inflexão ocorre em x=0.

Passo 5

Interceptos e ponto de inflexão.
– Intercepto em y: f(0)=-2, ponto (0,-2) (também inflexão).
– Intercepto em x: resolver x^{3}+3x-2=0. Numericamente encontra-se
x\approx0,596,
isto é, zero em \bigl(0,596,\,0\bigr).

Passo 6

Esboço qualitativo.
  1. A curva cresce de -\infty a +\infty.
  2. É côncava para baixo até x=0 e côncava para cima depois.
  3. Passa por (0,-2), inflexão aí, e cruza o eixo x em (0,596,0).

Resposta

O gráfico é o esboço de uma cúbica estritamente crescente, com inflexão em (0,-2), intercepto em y nesse ponto e raiz aproximada em (0,596,0), tendendo a -\infty para x\to-\infty e a +\infty para x\to+\infty.

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