Construa o gráfico de :
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
O que vamos precisar: domínio e limites em
, derivada para monotonicidade, segunda derivada para concavidade, interceptos com eixos e ponto de inflexão.
Passo 2
Domínio e comportamento em infinidades. Como é um polinômio, o domínio é todo
.
Passo 3
Derivada primeira e monotonicidade.
Logo
é estritamente crescente em todo o domínio e não tem máximos nem mínimos locais.
Passo 4
Derivada segunda e concavidade.
Para
temos
(concavidade para baixo) e para
temos
(concavidade para cima). O ponto de inflexão ocorre em
.
Passo 5
Interceptos e ponto de inflexão.
– Intercepto em :
, ponto
(também inflexão).
– Intercepto em : resolver
. Numericamente encontra-se
– Intercepto em
– Intercepto em
isto é, zero em
.
Passo 6
Esboço qualitativo.
- A curva cresce de
a . - É côncava para baixo até
e côncava para cima depois. - Passa por
, inflexão aí, e cruza o eixo em .
Resposta
O gráfico é o esboço de uma cúbica estritamente crescente, com inflexão em
, intercepto em
nesse ponto e raiz aproximada em
, tendendo a
para
e a
para
.