(1.0 pontos) Dada equação
y^{\prime \prime}(x)-5 y^{\prime}(x)+6 y(x)=F(x)
Sabendo que y(x)=C_{1} e^{2 x}+C_{2} e^{3 x}+3 x+2 é sua solução geral, determine F(x)

CÁLCULO:

\text { Resp: } \quad F(x)=.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem
y''(x)-5\,y'(x)+6\,y(x)=F(x)
e informa que a solução geral é
y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x}+3x+2.
Nosso objetivo é determinar o termo forçante F(x) que torna essa igualdade verdadeira.

Passo 2

Observamos que
y(x)=\underbrace{C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x}}_{\text{solução homogênea}}+\underbrace{3x+2}_{y_{p}(x)\text{, solução particular}}.çãêçã
Para obter F(x), basta aplicar o operador diferencial à parte particular y_{p}(x)=3x+2. Calculamos suas derivadas:
y_{p}'(x)=3
y_{p}''(x)=0

Passo 3

Substituindo y_{p} no lado esquerdo da equação original, temos
F(x)=y_{p}''-5\,y_{p}'+6\,y_{p}
Como y_{p}''=0, y_{p}'=3 e y_{p}=3x+2, segue
F(x)=0-5\cdot3+6(3x+2)=-15+18x+12=18x-3

Resposta

F(x)=18x-3

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