Construa o gráfico de :
h(x)=\sqrt{9-x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função
h(x) = \sqrt{9 - x^{2}}.
Este é um problema de análise de função envolvendo raízes quadradas e geometria de curvas. Vamos precisar determinar domínio, imagem, pontos-chave e reconhecer a forma geométrica resultante.

Passo 2

Encontrar o domínio de h. Como dentro da raiz só podemos ter valores não negativos, impomos
9 - x^{2} \ge 0
e obtemos
-3 \le x \le 3.
Logo o domínio é o intervalo [-3,3].

Passo 3

Determinar a imagem de h. Pela definição de raiz quadrada, temos sempre
h(x)\ge 0.
No ponto em que x=0, h(0)=\sqrt{9}=3. E nos extremos x=\pm3, h(\pm3)=0. Portanto a imagem é [0,3].

Passo 4

Verificar a geometria da curva. Se isolarmos o radical, elevando ao quadrado, obtemos
y = \sqrt{9 - x^{2}} \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = 9 - x^{2} \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + y^{2} = 9.
Isto é a equação de um círculo de raio 3 centrado na origem, mas como y=\sqrt{\dots}, ficamos apenas com a metade superior desse círculo.

Passo 5

Identificar pontos-chave e esboçar.
  1. Em x=-3 e x=3 temos h(x)=0, ou seja, pontos (-3,0) e (3,0).
  2. Em x=0 temos h(0)=3, ou seja, (0,3).
  3. A curva é suave e simétrica em relação ao eixo y.
Basta então desenhar o semicírculo superior de raio 3 com esses pontos marcados.

Resposta

O gráfico de h(x)=\sqrt{9-x^{2}} é o semicírculo superior de raio 3 centrado na origem, com domínio [-3,3] e imagem [0,3].

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