(a) Determine o ponto de mínimo.
(b) Escreva a função por partes.
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x)=|2x-1|-2
e pede duas coisas:
(a) determinar o ponto de mínimo da função;
(b) escrever a função por partes (isto é, expressá-la sem o símbolo de valor absoluto, em ramos que valem em intervalos de x).
Informações relevantes que temos explicitamente: a expressão dentro do valor absoluto é 2x-1. Não há outras informações adicionais.
Passo 2
Entendendo o valor absoluto e onde ele muda de sinal (a ideia para montar a função por partes).
O valor absoluto |\cdot|\) de uma expressão retorna a mesma expressão quando ela é não negativa, e o oposto quando a expressão é negativa. Formalmente:
\[|u|=\begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Aqui a variável dentro do valor absoluto é u=2x-1\]. A fronteira entre os dois ramos é o ponto em que \(u=0, ou seja, onde
2x-1=0.
Resolvendo isso,
2x=1\quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{1}{2}.
Portanto o comportamento de f muda em x=\tfrac{1}{2}. Esse é o único ponto que precisamos testar para escrever a função por partes.]
Passo 3
Construindo explicitamente os dois ramos usando a definição do valor absoluto.
Para x\ge \tfrac{1}{2} temos 2x-1\ge 0, então |2x-1|=2x-1. Substituindo em f:
f(x)= (2x-1)-2 = 2x-3,\qquad x\ge \tfrac{1}{2}.
Para x< \tfrac{1}{2} temos 2x-1<0, então |2x-1|=-(2x-1)=1-2x. Substituindo em f:
f(x)= (1-2x)-2 = -2x-1,\qquad x< \tfrac{1}{2}.
Assim já temos a função escrita por partes (vou deixar-a organizada no passo da resposta final).
Passo 4
Verificando continuidade e localizando o candidato a mínimo (o “vértice” do V).
Em funções do tipo |\text{linear}| a forma é um “V” com vértice onde a expressão interna zera (aqui em x=\tfrac{1}{2}). Vamos checar o valor lá e a continuidade.
Calcule f em x=\tfrac{1}{2}. Usando a definição original,
Verifique os valores dos dois ramos em x=\tfrac{1}{2} para confirmar continuidade:
\text{ramo à esquerda: } -2x-1\Big|_{x=\tfrac{1}{2}} = -2\cdot\tfrac{1}{2}-1=-1-1=-2,
\text{ramo à direita: } 2x-3\Big|_{x=\tfrac{1}{2}} = 2\cdot\tfrac{1}{2}-3=1-3=-2.à
Os dois coincidem em -2, logo f é contínua em x=\tfrac{1}{2} e o ponto \big(\tfrac{1}{2},-2\big) é o vértice do “V”.
Passo 5
Mostrando que esse vértice é mínimo (e não máximo) — olhar os coeficientes angulares.
Para x<\tfrac{1}{2} o ramo é f(x)=-2x-1, que tem coeficiente angular (inclinação) -2. Isso significa que, à esquerda do vértice, a função cresce quando nos aproximamos de \tfrac{1}{2} vindo da esquerda? Na verdade, uma inclinação negativa indica que a função decresce à medida que x aumenta; portanto, indo para a direita (em direção ao vértice) o valor diminui até o vértice.
Para x>\tfrac{1}{2} o ramo é f(x)=2x-3, que tem inclinação 2>0, então à direita do vértice a função cresce quando x aumenta.
Esse comportamento (decrescer à esquerda e crescer à direita) é exatamente o de um ponto de mínimo. Assim \big(\tfrac{1}{2},-2\big) é o ponto de mínimo global da função.
Passo 6
Dicas práticas para desenhar o gráfico (passo a passo de esboço rápido na prova).
Marque o vértice em \left(\tfrac{1}{2},-2\right).
Use dois pontos adicionais para cada ramo para garantir a inclinação correta:
Para o ramo esquerdo f(x)=-2x-1: por exemplo em x=0, f(0)=-1 (ponto (0,-1)), e em x=-\tfrac{1}{2}, f(-\tfrac{1}{2})= -2(-\tfrac{1}{2})-1=1-1=0 (ponto (-\tfrac{1}{2},0)).
Para o ramo direito f(x)=2x-3: por exemplo em x=1, f(1)=-1 (ponto (1,-1)), e em x=\tfrac{3}{2}, f(\tfrac{3}{2})=2\cdot\tfrac{3}{2}-3=3-3=0 (ponto (\tfrac{3}{2},0)).
Ligue os pontos formando duas semi-retas com vértice comum em \left(\tfrac{1}{2},-2\right). As interseções com o eixo x são (-\tfrac{1}{2},0) e (\tfrac{3}{2},0); a interseção com o eixo y é (0,-1).