Construa o gráfico da função:
g(x)=1x-2

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função g(x)=1x-2. Isso envolve estudar funções racionais, determinando domínio, assíntotas, comportamento em diferentes intervalos, pontos de referência e, por fim, combinar tudo para desenhar o esboço.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio de g. A função g(x)=tfrac1x-2 não está definida quando o denominador é zero. Logo,
x-2=0 implies x=2
Portanto, o domínio é Rsetminus2.

Passo 3

Agora, identificamos as assíntotas. Como xto2, o denominador vai a zero e g(x)topminfty, temos uma assíntota vertical em
x=2
Como xtopminfty, g(x)=tfrac1x-2to0. Isso gera uma assíntota horizontal em
y=0

Passo 4

Em seguida, estudamos o sinal e o comportamento de g(x) em cada intervalo do domínio:
  • Para x>2, o denominador (x-2)>0, então g(x)>0. À medida que xto2^+, g(x)to+infty; e para xto+infty, g(x)to0^+.
  • Para x<2, o denominador (x-2)<0, então g(x)<0. À medida que xto2^-, g(x)to-infty; e para xto-infty, g(x)to0^-.

Passo 5

Escolhemos alguns pontos para orientar o esboço:
  • Em x=3: g(3)=1/(3-2)=1.
  • Em x=4: g(4)=1/(4-2)=1/2.
  • Em x=1: g(1)=1/(1-2)=-1.
  • Em x=0: g(0)=1/(0-2)=-1/2.

Passo 6

Com essas informações, desenhamos dois ramos de uma hipérbole retangular: um no primeiro quadrante deslocado à direita de x=2, aproximando-se das assíntotas x=2 e y=0; e outro no terceiro quadrante (abaixo do eixo x para x<2), também aproximando-se das mesmas assíntotas.

Resposta

O gráfico de g(x)=tfrac1x-2 é uma hipérbole retangular obtida da função 1/x deslocada 2 unidades para a direita, com assíntotas verticais em x=2 e horizontais em y=0, apresentando um ramo positivo para x>2 e um ramo negativo para x<2.

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