Nos exercícios a seguir encontre as derivadas parciais
da função
.
Passo 1
O exercício pede as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y)=√(x²+y²), ou seja f_{xx}, f_{xy} e f_{yy}; o tópico é derivadas parciais e vamos usar a regra da cadeia e, depois, regra do produto/quociente para derivar de novo.
Passo 2
Para começar, escrevemos f como composição g(h(x,y)) com h(x,y)=x²+y² e g(u)=√u. Assim, usando regra da cadeia:
f_x = h_x·g’(h) = 2x·(1/2)(x²+y²)^{-1/2} = x/(√(x²+y²)),
f_y = y/(√(x²+y²)).
f_x = h_x·g’(h) = 2x·(1/2)(x²+y²)^{-1/2} = x/(√(x²+y²)),
f_y = y/(√(x²+y²)).
Passo 3
Agora calculamos f_{xx}, ou seja derivamos f_x em relação a x. Escrevendo f_x = x·(x²+y²)^{-1/2}, aplicamos regra do produto e cadeia:
f_{xx} = (x²+y²)^{-1/2} + x·[(-1/2)(x²+y²)^{-3/2}·2x]
Simplificando dá
f_{xx} = (x²+y²)^{-1/2} - x²(x²+y²)^{-3/2} = y²/(x²+y²)^{3/2}.
f_{xx} = (x²+y²)^{-1/2} + x·[(-1/2)(x²+y²)^{-3/2}·2x]
Simplificando dá
f_{xx} = (x²+y²)^{-1/2} - x²(x²+y²)^{-3/2} = y²/(x²+y²)^{3/2}.
Passo 4
Para f_{xy}, derivamos f_x em relação a y. Partindo de f_x = x·(x²+y²)^{-1/2} e usando cadeia:
f_{xy} = x·[(-1/2)(x²+y²)^{-3/2}·2y] = -xy/(x²+y²)^{3/2}.
f_{xy} = x·[(-1/2)(x²+y²)^{-3/2}·2y] = -xy/(x²+y²)^{3/2}.
Passo 5
Finalmente, para f_{yy}, derivamos f_y = y·(x²+y²)^{-1/2} em relação a y:
f_{yy} = (x²+y²)^{-1/2} + y·[(-1/2)(x²+y²)^{-3/2}·2y]
f_{yy} = (x²+y²)^{-1/2} - y²(x²+y²)^{-3/2} = x²/(x²+y²)^{3/2}.
f_{yy} = (x²+y²)^{-1/2} + y·[(-1/2)(x²+y²)^{-3/2}·2y]
f_{yy} = (x²+y²)^{-1/2} - y²(x²+y²)^{-3/2} = x²/(x²+y²)^{3/2}.