Nos itens abaixo determine a diferencial d w.
w=x^2 ln (y^2+z^2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a diferencial total de uma função de três variáveis, ou seja, calcular dw para w=x^2 ln(y2+z2). O conteúdo aqui é derivada parcial e fórmula da diferencial total. Vamos precisar usar: para cada variável, a derivada parcial de w e depois montar dw=∂w/∂x
dx+∂w/∂y
dy+∂w/∂z
dz.

Passo 2

Como a primeira variável é x, tratamos y e z como constantes. Calculamos ∂w/∂x:
partial wpartial x=partialpartial xl(x^2ln(y^2+z^2)r)=2xln(y^2+z^2)
Agora vamos às derivadas parciais em relação a y e z. Note que x é constante nessas derivadas e usamos a regra da cadeia em ln(y2+z2):
partial wpartial y=x^2cdot1y^2+z^2cdot2y=2x^2yy^2+z^2,
partial wpartial z=x^2cdot1y^2+z^2cdot2z=2x^2zy^2+z^2

Passo 3

Por fim, aplicamos a fórmula da diferencial total para funções de três variáveis:
dw=partial wpartial x,dx+partial wpartial y,dy+partial wpartial z,dz

Resposta

dw=2xln(y^2+z^2),dx+2x^2yy^2+z^2,dy+2x^2zy^2+z^2,dz

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