Nos exercícios a seguir use a regra da cadeia para calcular d zd t, d wd t
z=2 x^2-3 y^3, x=raizt, y=e^2 t

Passo 1

O exercício pede para calcular dzdt e dwdt usando a regra da cadeia. Temos a função z = 2x^2 - 3y^3 e as variáveis x e y dadas em função de t: x = raizt e y = e^2t. Vamos precisar da definição de derivadas parciais e da regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y. Sabendo que z = 2x^2 - 3y^3, temos:
partial zpartial x = 4x e partial zpartial y = -9y^2

Passo 3

Em seguida, derivamos x e y em relação a t. Como x = t^1/2 e y = e^2t, segue:
dxdt = 12raizt e dydt = 2e^2t

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para z(x(t),y(t)):
dzdt = partial zpartial xdxdt + partial zpartial ydydt

Passo 5

Substituindo as derivadas parciais e as derivadas de x e y:
dzdt = 4x cdot 12raizt + (-9y^2) cdot (2e^2t)

Passo 6

Como x = raizt e y = e^2t, temos 4x cdot tfrac12raizt = 2 e -9y^2 cdot 2e^2t = -18e^6t. Logo,
dzdt = 2 - 18e^6t

Passo 7

A função w não foi definida no enunciado, então não há como calcular dwdt.

Resposta

dzdt = 2 - 18e^6t, e não é possível determinar dwdt pois w não foi definida.

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