Nos exercícios a seguir encontre as derivadas parciais fx x, fx y, fy y da função f(x, y).
f(x, y)=xx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para a gente calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=\frac{x}{x2+y2}. O conteúdo aqui é derivação de funções de duas variáveis, e vamos precisar usar a regra do quociente para achar f_x e f_y, e depois derivar de novo para obter f_{xx}, f_{xy} e f_{yy}.

Passo 2

Primeiro passo real: calcular f_x usando a regra do quociente. Se f(x,y)=x/(x2+y2), então
fx = 1cdot(x^2+y^2) - xcdot(2x)(x^2+y^2)^2 = x^2+y^2 -2x^2(x^2+y^2)^2 = y^2 - x^2(x^2+y^2)^2

Passo 3

Agora calculo f_y, também pela regra do quociente. Como o numerador é x (independe de y), temos
fy = 0cdot(x^2+y^2) - xcdot(2y)(x^2+y^2)^2 = -2xy(x^2+y^2)^2

Passo 4

Para achar f_{xx}, derivamos f_x em relação a x. Escrevendo f_x = (y^2 - x2)(x2+y2){-2} e usando a regra do produto e cadeia, obtemos
fxx = 2xl(x^2 - 3y^2r)(x^2+y^2)^3

Passo 5

Para achar f_{xy}, derivamos f_x em relação a y. Partindo de f_x = (y^2 - x2)(x2+y2){-2} e aplicando produto e cadeia em y, dá
fxy = 2yl(5x^2 - 3y^2r)(x^2+y^2)^3

Passo 6

Finalmente, para f_{yy}, derivamos f_y em y. Começando de f_y = -2xy,(x2+y2)^{-2} e usando novamente produto e cadeia, chega-se a
fyy = 2xl(3y^2 - x^2r)(x^2+y^2)^3

Resposta

f_{xx} = \frac{2x\bigl(x^2 - 3y2\bigr)}{(x2+y2)3},\quad f_{xy} = \frac{2y\bigl(5x^2 - 3y2\bigr)}{(x2+y2)3},\quad f_{yy} = \frac{2x\bigl(3y^2 - x2\bigr)}{(x2+y2)3}

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