Nos exercícios a seguir encontre as derivadas parciais
da função
.
Passo 1
O enunciado pede para a gente calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=\frac{x}{x2+y2}. O conteúdo aqui é derivação de funções de duas variáveis, e vamos precisar usar a regra do quociente para achar f_x e f_y, e depois derivar de novo para obter f_{xx}, f_{xy} e f_{yy}.
f(x,y)=\frac{x}{x2+y2}. O conteúdo aqui é derivação de funções de duas variáveis, e vamos precisar usar a regra do quociente para achar f_x e f_y, e depois derivar de novo para obter f_{xx}, f_{xy} e f_{yy}.
Passo 2
Primeiro passo real: calcular f_x usando a regra do quociente. Se f(x,y)=x/(x2+y2), então
Passo 3
Agora calculo f_y, também pela regra do quociente. Como o numerador é x (independe de y), temos
Passo 4
Para achar f_{xx}, derivamos f_x em relação a x. Escrevendo f_x = (y^2 - x2)(x2+y2){-2} e usando a regra do produto e cadeia, obtemos
Passo 5
Para achar f_{xy}, derivamos f_x em relação a y. Partindo de f_x = (y^2 - x2)(x2+y2){-2} e aplicando produto e cadeia em y, dá
Passo 6
Finalmente, para f_{yy}, derivamos f_y em y. Começando de f_y = -2xy,(x2+y2)^{-2} e usando novamente produto e cadeia, chega-se a
Resposta
f_{xx} = \frac{2x\bigl(x^2 - 3y2\bigr)}{(x2+y2)3},\quad f_{xy} = \frac{2y\bigl(5x^2 - 3y2\bigr)}{(x2+y2)3},\quad f_{yy} = \frac{2x\bigl(3y^2 - x2\bigr)}{(x2+y2)3}