Diga como o gráfico das funções abaixo se comportam em torno de seus pontos de descontinuidade.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos analisar como o gráfico dessa função se comporta próximo aos seus pontos de descontinuidade. Para isso, vamos precisar de conceitos de limites e descontinuidades em funções.
Passo 2
Vamos começar identificando onde a função pode ter descontinuidades. Olhando para o denominador dentro do expoente, temos
. Precisamos encontrar os valores de
que tornam esse denominador igual a zero, pois nesses pontos a função pode não estar definida.
Passo 3
Resolvendo
, fatoramos a expressão:
Isso nos dá duas soluções:
e
. Então, esses são os possíveis pontos de descontinuidade da função.
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento da função perto de cada um desses pontos. Começaremos com
.
Passo 5
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0:
Quando
se aproxima de 0,
tende a 0. Precisamos ver se isso tende a 0 pela direita (valores positivos) ou pela esquerda (valores negativos).
Passo 6
Para
(pela direita):
- Se
está próximo de 0 e positivo, será negativo. - Então,
tende a . - Portanto,
e .
Para
(pela esquerda):
- Se
está próximo de 0 e negativo, será positivo. - Então,
tende a . - Portanto,
e .
Passo 7
Agora, vamos analisar o ponto
.
Passo 8
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 2:
Quando
se aproxima de 2,
também tende a 0. Novamente, vamos verificar os lados.
Passo 9
Para
(pela direita):
- Se
está próximo de 2 e maior que 2, será positivo. - Então,
tende a . - Portanto,
e .
Para
(pela esquerda):
- Se
está próximo de 2 e menor que 2, será negativo. - Então,
tende a . - Portanto,
e .
Resposta
A função
possui descontinuidades infinitas em
e
. Em
, o limite da função tende a 1 pela direita e a
pela esquerda. Em
, o limite tende a
pela direita e a 1 pela esquerda.