Diga como o gráfico das funções abaixo se comportam em torno de seus pontos de descontinuidade.
f(x)=1-e^(1x^2-2 x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função f(x) = 1 - e^(1x^2-2x) e precisamos analisar como o gráfico dessa função se comporta próximo aos seus pontos de descontinuidade. Para isso, vamos precisar de conceitos de limites e descontinuidades em funções.

Passo 2

Vamos começar identificando onde a função pode ter descontinuidades. Olhando para o denominador dentro do expoente, temos x^2 - 2x . Precisamos encontrar os valores de x que tornam esse denominador igual a zero, pois nesses pontos a função pode não estar definida.

Passo 3

Resolvendo x^2 - 2x = 0 , fatoramos a expressão:
x(x - 2) = 0
Isso nos dá duas soluções: x = 0 e x = 2 . Então, esses são os possíveis pontos de descontinuidade da função.

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento da função perto de cada um desses pontos. Começaremos com x = 0 .

Passo 5

Vamos calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de 0:
limx to 0 (1 - e^(1x^2-2x))
Quando x se aproxima de 0, x^2 - 2x tende a 0. Precisamos ver se isso tende a 0 pela direita (valores positivos) ou pela esquerda (valores negativos).

Passo 6

Para x to 0^+ (pela direita):
  • Se x está próximo de 0 e positivo, x^2 - 2x será negativo.
  • Então, 1x^2-2x tende a -infty .
  • Portanto, e^-infty = 0 e 1 - 0 = 1 .
Para x to 0^- (pela esquerda):
  • Se x está próximo de 0 e negativo, x^2 - 2x será positivo.
  • Então, 1x^2-2x tende a +infty .
  • Portanto, e^+infty = +infty e 1 - infty = -infty .

Passo 7

Agora, vamos analisar o ponto x = 2 .

Passo 8

Vamos calcular o limite de f(x) quando x se aproxima de 2:
limx to 2 (1 - e^(1x^2-2x))
Quando x se aproxima de 2, x^2 - 2x também tende a 0. Novamente, vamos verificar os lados.

Passo 9

Para x to 2^+ (pela direita):
  • Se x está próximo de 2 e maior que 2, x^2 - 2x será positivo.
  • Então, 1x^2-2x tende a +infty .
  • Portanto, e^+infty = +infty e 1 - infty = -infty .
Para x to 2^- (pela esquerda):
  • Se x está próximo de 2 e menor que 2, x^2 - 2x será negativo.
  • Então, 1x^2-2x tende a -infty .
  • Portanto, e^-infty = 0 e 1 - 0 = 1 .

Resposta

A função f(x) = 1 - e^(1x^2-2x) possui descontinuidades infinitas em x = 0 e x = 2 . Em x = 0 , o limite da função tende a 1 pela direita e a -infty pela esquerda. Em x = 2 , o limite tende a -infty pela direita e a 1 pela esquerda.

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