Construa o gráfico das funções abaixo e determine se são pares ou ímpares.
f(x)=x^{3}-2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o gráfico da função
f(x)=x^{3}-2x+1
e, em seguida, determinarmos se ela é par, ímpar ou nenhuma das duas. O conteúdo aqui envolve análise de polinômios de grau 3, simetria de funções (paridade) e estudo de crescimento e extremantes para esboçar o gráfico.

Passo 2

Para verificar paridade, calculamos f(-x) e comparamos com f(x) e -f(x).
f(-x)=(-x)^{3}-2(-x)+1=-x^{3}+2x+1.
Como nem
f(-x)\overset{?}{=}f(x)=x^{3}-2x+1
nem
f(-x)\overset{?}{=}-f(x)=-(x^{3}-2x+1)=-x^{3}+2x-1,
temos que f(-x) difere de ambos. Logo, f não é par nem ímpar.

Passo 3

Para esboçar o gráfico, estudamos o sinal de f'(x) e os extremos locais.
f'(x)=3x^{2}-2.
Resolvendo f'(x)=0
3x^{2}-2=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{\tfrac{2}{3}}\approx\pm0{,}816.
Avaliaremos f nesses pontos:
f\bigl(-\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr) =-\bigl(\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr)^{3}+2\sqrt{\tfrac{2}{3}}+1 \approx2{,}09,
f\bigl(\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr) =\bigl(\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr)^{3}-2\sqrt{\tfrac{2}{3}}+1 \approx-0{,}09.
Portanto, há um máximo local em x\approx-0{,}816 com f\approx2{,}09 e um mínimo local em x\approx0{,}816 com f\approx-0{,}09.

Passo 4

Analisando o comportamento para x\to\pm\infty:
\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
Os zeros mais evidentes são f(1)=1-2+1=0. Em x=0, f(0)=1.
Com esses dados, montamos o esboço:
  1. Para x\ll0, f(x) é muito negativo, sobe até o máximo local em (-0{,}816,2{,}09).
  2. Desce até o mínimo local em (0{,}816,-0{,}09) e depois cresce indefinidamente, cruzando o eixo x em (1,0).

Resposta

A função f(x)=x^{3}-2x+1 não é par nem ímpar.

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