Questão 2.[1,00 pontos]
Calcule a integral
\int \frac{\left(x^{2}+4\right)^{-1}}{\sqrt{x^{2}+4}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{\,(x^{2}+4)^{-1}}{\sqrt{x^{2}+4}}\,dx,
o que é equivalente a
\int \frac{dx}{(x^{2}+4)^{3/2}}.
Para resolver, podemos usar substituição trigonométrica x=2\tan\theta.

Passo 2

Fazendo x=2\tan\theta, obtemos
\sqrt{x^{2}+4}=2\operatorname{sec}\theta, \quad dx=2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Substituindo na integral:
\int \frac{dx}{(x^{2}+4)^{3/2}} = \int \frac{2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{\bigl(4\tan^{2}\theta+4\bigr)^{3/2}} = \int \frac{2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{(4\operatorname{sec}^{2}\theta)^{3/2}} = \int \frac{2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{8\operatorname{sec}^{3}\theta} = \frac{1}{4}\int \cos\theta\,d\theta = \frac{1}{4}\sin\theta + C.

Passo 3

Revertendo a substituição, de \tan\theta=\tfrac{x}{2} segue
\sin\theta=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}.
Logo a primitiva é
\frac{1}{4}\,\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{x}{4\sqrt{x^{2}+4}} + C

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