Questão 10.[1,00 pontos]
Calcule a integral
\int \frac{\tan x-1}{\tan ^{2} x-2 \tan x+1} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{\tan x - 1}{\tan^2 x - 2\tan x + 1}\,dx.
Observamos que o denominador fatoriza como
\tan^2 x - 2\tan x + 1 = (\tan x - 1)^2,
portanto a integral vira
\int \frac{\tan x - 1}{(\tan x - 1)^2}\,dx = \int \frac{1}{\tan x - 1}\,dx.
Para prosseguir, fazemos a substituição t = \tan x, então
dt = \operatorname{sec}^2 x\,dx = (1 + \tan^2 x)\,dx = (1 + t^2)\,dx,
isto é
dx = \frac{dt}{1 + t^2},
e a integral em t fica
\int \frac{1}{t - 1}\,\frac{dt}{1 + t^2} = \int \frac{dt}{(t - 1)(1 + t^2)}.

Passo 2

Para integrar
\int \frac{dt}{(t - 1)(t^2 + 1)},
usamos frações parciais. Procuramos constantes A, B, C tais que
\frac{1}{(t - 1)(t^2 + 1)} = \frac{A}{t - 1} + \frac{Bt + C}{t^2 + 1}.
Multiplicando ambos os lados por (t - 1)(t^2 + 1), obtemos
1 = A(t^2 + 1) + (Bt + C)(t - 1).
Expandindo e igualando coeficientes, chega-se a
A = \tfrac12,\quad B = -\tfrac12,\quad C = -\tfrac12.
Logo
\frac{1}{(t - 1)(t^2 + 1)} = \frac{1/2}{t - 1} - \frac{1/2\,(t + 1)}{t^2 + 1}.

Passo 3

A integral se separa em
\int \frac{dt}{(t - 1)(t^2 + 1)} = \frac12 \int \frac{dt}{t - 1} - \frac12 \int \frac{t + 1}{t^2 + 1}\,dt.
Integramos termo a termo:
\int \frac{dt}{t - 1} = \ln|t - 1|,\quad \int \frac{t}{t^2 + 1}\,dt = \frac12 \ln(t^2 + 1),\quad \int \frac{1}{t^2 + 1}\,dt = \arctan t.
Portanto,
\int \frac{dt}{(t - 1)(t^2 + 1)} = \frac12 \ln|t - 1| - \frac12\Bigl(\tfrac12 \ln(t^2 + 1) + \arctan t\Bigr) + C.
Isto é
\frac12 \ln|t - 1| - \frac14 \ln(t^2 + 1) - \frac12 \arctan t + C.

Passo 4

Voltando a x, temos t = \tan x e t^2 + 1 = \operatorname{sec}^2 x, então
- \frac14 \ln(t^2 + 1) = -\frac14 \ln(\operatorname{sec}^2 x) = -\frac12 \ln|\operatorname{sec} x|.
Além disso \arctan(\tan x)=x (em cada ramo de continuidade), de modo que a primitiva em x é
\frac12 \ln|\tan x - 1| - \frac12 \ln|\operatorname{sec} x| - \frac12\,x + C.
Note que
\frac{\tan x - 1}{\operatorname{sec} x} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - 1}{\frac1{\cos x}} = \sin x - \cos x,
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\frac12 \ln|\tan x - 1| - \frac12 \ln|\operatorname{sec} x| = \frac12 \ln\bigl|\sin x - \cos x\bigr|.

Resposta

\int \frac{\tan x - 1}{\tan^2 x - 2\tan x + 1}\,dx = \frac12 \ln\bigl|\sin x - \cos x\bigr| \;-\; \frac{x}{2} \;+\; C.

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