Construa o gráfico das funções logarítmicas de domínio R+^* definidas pelas leis seguintes:
y=log 3 x

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função logarítmica de base 3 em domínio R+^*, ou seja,
y = log3 x, x>0
O conteúdo é construção de gráficos de funções logarítmicas, que envolve identificar domínio, imagem, assíntote, interceptos e forma geral da curva.

Passo 2

Definimos f(x)=log3x.
  • Domínio: todos os x>0, ou R+^*.
  • Imagem (contradomínio efetivo): toda a reta real R, pois logaritmos assumem todo valor real.

Passo 3

Analisamos assíntote:
Quando xto0^+, log3xto -infty. Logo há assíntote vertical em
x=0

Passo 4

Encontramos pontos-chave para guiar o esboço:
  • Para x=1:
f(1)=log31=0,
ponto ,(1,0).
  • Para x=3:
f(3)=log33=1,
ponto ,(3,1).
  • Para x=tfrac13:
fl(tfrac13r)=log3tfrac13=-1,
ponto ,(tfrac13,-1).

Passo 5

Verificamos monotonicidade e concavidade pelo estudo de derivadas:
f'(x)=1x,ln 3>0para x>0,
de modo que f é estritamente crescente.
f''(x)=-1x^2,ln 3<0para x>0,
logo a curva é côncava para baixo.

Passo 6

Com domínio x>0, assíntote vertical em x=0, pontos (tfrac13,-1), (1,0), (3,1), curva crescente e côncava para baixo, podemos traçar suavemente a curva passando por esses pontos e aproximando-se da assíntote x=0 à esquerda e subindo lentamente para a direita.

Resposta

O gráfico de y=log3x é uma curva que:
– Só existe para x>0.
– Tem assíntote vertical x=0.
– Passa pelos pontos l(tfrac13,-1r), (1,0) e (3,1).
– É estritamente crescente e côncava para baixo.

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