Resolva, em R, as seguintes equações:
2 cdot log x=log (2 x-3)+log (x+2)

Passo 1

O enunciado pede para resolver, no conjunto dos reais, a equação
2 cdot log x ;=;log(2x-3)+log(x+2)
O conteúdo principal aqui é a propriedade dos logaritmos que permite transformar soma de logaritmos em logaritmo de produto, além de cuidar do domínio onde cada logaritmo está definido.

Passo 2

Determinar o domínio de definição da equação. Para que todas as expressões sejam válidas, precisamos:
  1. log x existir Rightarrow x>0.
  2. log(2x-3) existir Rightarrow 2x-3>0;Leftrightarrow;x>tfrac32.
  3. log(x+2) existir Rightarrow x+2>0;Leftrightarrow;x>-2.
Fazendo a interseção dessas condições, o domínio é
x>tfrac32

Passo 3

Usar a propriedade de logaritmos
log a + log b = log(ab)
e a propriedade
ccdot log x = logl(x^cr)
Aplicando-as em cada lado da equação:
2cdot log x = logl(x^2r),
log(2x-3)+log(x+2)=logl((2x-3)(x+2)r)
Logo a equação vira
logl(x^2r) = logl((2x-3)(x+2)r)

Passo 4

Como os logaritmos são iguais e ambos definidos no domínio, igualamos os argumentos:
x^2 = (2x-3)(x+2)
Expandindo o produto no lado direito:
x^2 = 2x^2 + x - 6
Reorganizando para formar uma equação quadrática:
0 = 2x^2 + x - 6 - x^2 ;Longrightarrow; 0 = x^2 + x - 6
Resolvendo x^2 + x - 6 = 0 pela fórmula de Bhaskara:
x = -1 pm raiz1 + 242 = -1 pm 52
resultando em
x = 2 ou x = -3

Passo 5

Verificar quais soluções pertencem ao domínio x>tfrac32:
  • x=2 satisfaz 2>tfrac32.
  • x=-3 não satisfaz x>0, muito menos x>tfrac32.
Portanto, a única solução válida é x=2.

Resposta

A solução da equação em R é
x = 2

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