Sendo y=y(x), resolva :
(1.0 pontos) y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y''' + y'' - 2y' = 4,
onde y=y(x). Vamos usar o método padrão: primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada, depois somamos uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Analisamos a parte homogênea
y''' + y'' - 2y' = 0.
Assumimos y=e^{rx}, o que leva à equação característica
r^3 + r^2 - 2r = 0.
Fatorando, obtemos
r(r^2 + r - 2)=0 \quad\Longrightarrow\quad r(r+2)(r-1)=0,
logo as raízes são r=0, r=-2 e r=1. Assim a solução geral homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{0\cdot x} + C_2 e^{-2x} + C_3 e^{x} = C_1 + C_2 e^{-2x} + C_3 e^{x}.

Passo 3

Para achar uma solução particular y_p da equação completa
y''' + y'' - 2y' = 4,
como o termo não-homogêneo é constante, tentamos y_p = A x + B. Calculamos derivadas:
y_p' = A,\quad y_p''=0,\quad y_p'''=0.
Substituindo na equação original:
0 + 0 - 2A = 4 \quad\Longrightarrow\quad -2A = 4 \quad\Longrightarrow\quad A = -2.
O termo B não aparece porque cancela na derivação, então podemos escolher B=0. Logo
y_p(x) = -2x.

Passo 4

A solução geral da equação não-homogênea é a soma de y_h com y_p:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 + C_2 e^{-2x} + C_3 e^{x} - 2x,
onde C_1, C_2 e C_3 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Resposta

y(x) = C_1 + C_2 e^{-2x} + C_3 e^{x} - 2x.

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