Construa o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para construir o gráfico da função
. Isso está relacionado ao conteúdo de Geometria Analítica, onde vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos entender a forma da função e como representá-la graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma mais familiar. A função dada é:
Para construir o gráfico, vamos considerar
, ou seja:
Isso significa que para cada par de valores
, temos um valor correspondente de
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a forma dessa equação. A equação
representa uma superfície tridimensional chamada paraboloide elíptico. Esta é uma forma curva que se abre para cima, semelhante a um prato.
Passo 4
Para visualizar melhor, podemos fixar alguns valores de
e ver como fica o gráfico em cada “fatia” horizontal. Por exemplo:
- Quando
:
Isso é a equação de um círculo de raio 1 no plano
.
- Quando
:
Agora temos um círculo maior, com raio
.
- E assim por diante, aumentando
vai aumentando o raio dos círculos.
Passo 5
Ao juntar todas essas “fatiadas” de círculos com raios crescentes conforme
aumenta, formamos a superfície do paraboloide. É como se estivéssemos empilhando círculos de diferentes tamanhos no eixo
.
Passo 6
Para desenhar o gráfico:
- Desenhe o eixo
vertical e os eixos e no plano horizontal. - Marque pontos correspondentes a diferentes valores de
e esboce os círculos respectivos. - Conecte esses círculos suavemente para formar a superfície curva do paraboloide.
Resposta
O gráfico da função
é um paraboloide elíptico que se abre para cima, com a base do paraboloide sendo um círculo de raio 1 no plano
. À medida que
aumenta, o raio dos círculos também aumenta, formando uma superfície curva característica dessa função.