Construa o gráfico das seguintes funções:
f(x, y)=x^2+y^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para construir o gráfico da função f(x, y) = x^2 + y^2 - 1 . Isso está relacionado ao conteúdo de Geometria Analítica, onde vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos entender a forma da função e como representá-la graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma mais familiar. A função dada é:
f(x, y) = x^2 + y^2 - 1
Para construir o gráfico, vamos considerar z = f(x, y) , ou seja:
z = x^2 + y^2 - 1
Isso significa que para cada par de valores (x, y) , temos um valor correspondente de z .

Passo 3

Agora, vamos analisar a forma dessa equação. A equação z = x^2 + y^2 - 1 representa uma superfície tridimensional chamada paraboloide elíptico. Esta é uma forma curva que se abre para cima, semelhante a um prato.

Passo 4

Para visualizar melhor, podemos fixar alguns valores de z e ver como fica o gráfico em cada “fatia” horizontal. Por exemplo:
  • Quando z = 0 :
0 = x^2 + y^2 - 1 Rightarrow x^2 + y^2 = 1
Isso é a equação de um círculo de raio 1 no plano xy .
  • Quando z = 1 :
1 = x^2 + y^2 - 1 Rightarrow x^2 + y^2 = 2
Agora temos um círculo maior, com raio raiz2.
  • E assim por diante, aumentando z vai aumentando o raio dos círculos.

Passo 5

Ao juntar todas essas “fatiadas” de círculos com raios crescentes conforme z aumenta, formamos a superfície do paraboloide. É como se estivéssemos empilhando círculos de diferentes tamanhos no eixo z .

Passo 6

Para desenhar o gráfico:
  1. Desenhe o eixo z vertical e os eixos x e y no plano horizontal.
  2. Marque pontos correspondentes a diferentes valores de z e esboce os círculos respectivos.
  3. Conecte esses círculos suavemente para formar a superfície curva do paraboloide.

Resposta

O gráfico da função f(x, y) = x^2 + y^2 - 1 é um paraboloide elíptico que se abre para cima, com a base do paraboloide sendo um círculo de raio 1 no plano z = 0 . À medida que z aumenta, o raio dos círculos também aumenta, formando uma superfície curva característica dessa função.

Exercícios relacionados