Construa o gráfico das seguintes funções de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para construir o gráfico dessa função.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A fórmula da função é
. - Não há restrição explícita no enunciado sobre domínio ou imagem.
O que devemos produzir:
- Um procedimento passo a passo para desenhar o gráfico à mão (pontos, reta) e entender suas propriedades principais (interceptos, inclinação, monotonicidade, simetria), de modo que eu consiga reproduzir rapidamente na prova.
Passo 2
Entender o tipo de função e a forma geral que vamos usar para interpretar os coeficientes.
Uma reta no plano cartesiano costuma ser escrita na forma
, onde:
-
é a inclinação (ou coeficiente angular). Ela indica quanto o valor de varia quando aumenta de . Se , a reta sobe; se , a reta desce. -
é o termo constante (ou coeficiente linear). É o valor de quando ; geometricamente, é o ponto onde a reta corta o eixo .
Na nossa função
podemos identificar diretamente:
-
(inclinação negativa, a reta é decrescente). -
(a reta passa pela origem).
Passo 3
Interpretar o significado de
de forma prática (como desenhar sem mistério).
Significado de
:
- Para cada aumento de
em (ou seja, ), o valor de diminui em (ou seja, ). - Em termos de pontos: se um ponto
está na reta, então o ponto também está na reta.
Isso facilita desenhar a reta só com dois pontos bem escolhidos.
Passo 4
Fazer uma tabela de pontos simples — escolha pontos fáceis e calcule passo a passo.
Escolho
. Calculos (mostrando cada passo):
- Para
: . Ponto: . - Para
: . Ponto: . - Para
: . Ponto: . - Para
: . Ponto: . - Para
: . Ponto: .
Esses pontos mostram claramente a inclinação
: ao aumentar
em
,
diminui em
.
Passo 5
Como desenhar o gráfico no papel (procedimento prático para a prova).
- Desenhe os eixos
e e marque uma escala regular (por exemplo, 1 unidade por quadradinho). - Plote os pontos
. - Use uma régua para traçar a reta que passa por esses pontos. Como são colineares, a régua passará por todos; estenda a reta para cobrir a região desejada.
Dica rápida: para a prova bastam dois pontos (por exemploe ) — trace a reta entre eles e prolongue.
Passo 6
Interceptos e pontos especiais (explicação e como encontrar).
- Intercepto em
: valor de quando . Aqui , então o intercepto em é o ponto . - Intercepto em
: solução de . Resolve-se → . Então o intercepto em também é .
Conclusão: a reta passa pela origem e os eixos se cruzam nesse ponto.
Passo 7
Monotonicidade e comportamento (por que é decrescente).
Mostro de forma elementar: tome
. Então
Como
, temos
, ou seja
. Isso significa que a função é estritamente decrescente em todo o domínio. Intuitivamente: quando
aumenta,
diminui.
Passo 8
Simetria e relações com outras retas.
- A função satisfaz
. Isso define uma função ímpar; geometricamente, o gráfico é simétrico em relação à origem (rotaciona 180° em torno da origem e fica igual). - Relação com
: a reta é perpendicular à reta e ambas passam pela origem. O produto das inclinações é , portanto são perpendiculares.
Passo 9
Exemplos rápidos extras para fixar (úteis na prova).
- Se for preciso um ponto à direita: para
, — marque . - Para um ponto à esquerda: para
, — marque . - Com dois pontos distintos, por exemplo
e , sempre se obtém a mesma reta, então confiança total: a reta é única.
Resposta
O gráfico é a reta
passando pela origem com inclinação
.
Domínio: .
Imagem: .
Interceptos: .
A função é estritamente decrescente e simétrica em relação à origem.
Domínio:
Imagem:
Interceptos:
A função é estritamente decrescente e simétrica em relação à origem.