Construa o gráfico das seguintes funções de
f(x)=-x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x) = -x e pede para construir o gráfico dessa função.
Informações fornecidas:
  • A fórmula da função é f(x) = -x.
  • Não há restrição explícita no enunciado sobre domínio ou imagem.
O que devemos produzir:
  • Um procedimento passo a passo para desenhar o gráfico à mão (pontos, reta) e entender suas propriedades principais (interceptos, inclinação, monotonicidade, simetria), de modo que eu consiga reproduzir rapidamente na prova.

Passo 2

Entender o tipo de função e a forma geral que vamos usar para interpretar os coeficientes.
Uma reta no plano cartesiano costuma ser escrita na forma f(x)=mx+b, onde:
  • m é a inclinação (ou coeficiente angular). Ela indica quanto o valor de f(x) varia quando x aumenta de 1. Se m>0, a reta sobe; se m<0, a reta desce.
  • b é o termo constante (ou coeficiente linear). É o valor de f(x) quando x=0; geometricamente, é o ponto onde a reta corta o eixo y.
Na nossa função f(x)=-x podemos identificar diretamente:
  • m=-1 (inclinação negativa, a reta é decrescente).
  • b=0 (a reta passa pela origem).

Passo 3

Interpretar o significado de m=-1 de forma prática (como desenhar sem mistério).
Significado de m=-1:
  • Para cada aumento de 1 em x (ou seja, \Delta x=1), o valor de f(x) diminui em 1 (ou seja, \Delta f(x)=m\Delta x=-1).
  • Em termos de pontos: se um ponto (x_0,f(x_0)) está na reta, então o ponto (x_0+1,f(x_0)-1) também está na reta.
Isso facilita desenhar a reta só com dois pontos bem escolhidos.

Passo 4

Fazer uma tabela de pontos simples — escolha pontos fáceis e calcule passo a passo.
Escolho x=-2,-1,0,1,2. Calculos (mostrando cada passo):
  • Para x=-2: f(-2) = -(-2) = 2. Ponto: \bigl(-2,2\bigr).
  • Para x=-1: f(-1) = -(-1) = 1. Ponto: \bigl(-1,1\bigr).
  • Para x=0: f(0) = -(0) = 0. Ponto: \bigl(0,0\bigr).
  • Para x=1: f(1) = -(1) = -1. Ponto: \bigl(1,-1\bigr).
  • Para x=2: f(2) = -(2) = -2. Ponto: \bigl(2,-2\bigr).
Esses pontos mostram claramente a inclinação -1: ao aumentar x em 1, y diminui em 1.

Passo 5

Como desenhar o gráfico no papel (procedimento prático para a prova).
  1. Desenhe os eixos x e y e marque uma escala regular (por exemplo, 1 unidade por quadradinho).
  2. Plote os pontos \bigl(-2,2\bigr),\\ \bigl(-1,1\bigr),\\ \bigl(0,0\bigr),\\ \bigl(1,-1\bigr),\\ \bigl(2,-2\bigr).
  3. Use uma régua para traçar a reta que passa por esses pontos. Como são colineares, a régua passará por todos; estenda a reta para cobrir a região desejada.
    Dica rápida: para a prova bastam dois pontos (por exemplo (0,0) e (1,-1)) — trace a reta entre eles e prolongue.

Passo 6

Interceptos e pontos especiais (explicação e como encontrar).
  • Intercepto em y: valor de f(x) quando x=0. Aqui f(0)=0, então o intercepto em y é o ponto \bigl(0,0\bigr).
  • Intercepto em x: solução de f(x)=0. Resolve-se -x=0 x=0. Então o intercepto em x também é \bigl(0,0\bigr).
    Conclusão: a reta passa pela origem e os eixos se cruzam nesse ponto.

Passo 7

Monotonicidade e comportamento (por que é decrescente).
Mostro de forma elementar: tome x_1<x_2. Então
f(x_1)-f(x_2)=(-x_1)-(-x_2)=-(x_1-x_2).
Como x_1-x_2<0, temos -(x_1-x_2)>0, ou seja f(x_1)>f(x_2). Isso significa que a função é estritamente decrescente em todo o domínio. Intuitivamente: quando x aumenta, f(x) diminui.

Passo 8

Simetria e relações com outras retas.
  • A função satisfaz f(-x)=-f(x). Isso define uma função ímpar; geometricamente, o gráfico é simétrico em relação à origem (rotaciona 180° em torno da origem e fica igual).
  • Relação com y=x: a reta y=-x é perpendicular à reta y=x e ambas passam pela origem. O produto das inclinações é (-1)\cdot 1=-1, portanto são perpendiculares.

Passo 9

Exemplos rápidos extras para fixar (úteis na prova).
  • Se for preciso um ponto à direita: para x=10, f(10)=-10 — marque (10,-10).
  • Para um ponto à esquerda: para x=-3, f(-3)=3 — marque (-3,3).
  • Com dois pontos distintos, por exemplo (2,-2) e (-1,1), sempre se obtém a mesma reta, então confiança total: a reta é única.

Resposta

O gráfico é a reta \,y=-x\, passando pela origem com inclinação -1.
Domínio: \mathbb{R}.
Imagem: \mathbb{R}.
Interceptos: (0,0).
A função é estritamente decrescente e simétrica em relação à origem.

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